Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27229 / 6493
↖ ↑ ↗
← N 80.791433°
W 30.426636°		 ← 97.74 m → N 80.791433°
W 30.421143°		 →
↑
97.73 m
↓
↑
97.73 m
↓
N 80.790554°
W 30.426636°		 ← 97.75 m →
9 553 m²		 N 80.790554°
W 30.421143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415489196777344 y=0.0990829467773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415489196777344 × 216)
    floor (0.415489196777344 × 65536)
    floor (27229.5)     		tx = 27229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0990829467773438 × 216)
    floor (0.0990829467773438 × 65536)
    floor (6493.5)     		ty = 6493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27229 / 6493 ti = "16/27229/6493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27229/6493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27229 ÷ 216
    27229 ÷ 65536     		x = 0.415481567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6493 ÷ 216
    6493 ÷ 65536     		y = 0.0990753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415481567382812 × 2 - 1) × π
    -0.169036865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53104497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0990753173828125 × 2 - 1) × π
    0.801849365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51908407503395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53104497} λ = -0.53104497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51908407503395))-π/2
    2×atan(12.4172182132992)-π/2
    2×1.49043641976712-π/2
    2.98087283953424-1.57079632675     		φ = 1.41007651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53104497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.426636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41007651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.791433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27229 KachelY 6493 -0.53104497 1.41007651 -30.426636 80.791433
    Oben rechts KachelX + 1 27230 KachelY 6493 -0.53094910 1.41007651 -30.421143 80.791433
    Unten links KachelX 27229 KachelY + 1 6494 -0.53104497 1.41006117 -30.426636 80.790554
    Unten rechts KachelX + 1 27230 KachelY + 1 6494 -0.53094910 1.41006117 -30.421143 80.790554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41007651-1.41006117) × R
    1.53399999998083e-05 × 6371000     		dl = 97.7311399987786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41007651-1.41006117) × R
    1.53399999998083e-05 × 6371000     		dr = 97.7311399987786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53104497--0.53094910) × cos(1.41007651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160028788057569 × 6371000     		do = 97.7436265934829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53104497--0.53094910) × cos(1.41006117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160043930342153 × 6371000     		du = 97.7528753157169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41007651)-sin(1.41006117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160028788057569-0.160043930342153)×R²
    abs(-0.53094910--0.53104497)×1.51422845843796e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51422845843796e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51422845843796e-05×40589641000000     		ar = 9553.04799907808m²