Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27227 / 6503
↖ ↑ ↗
← N 80.782638°
W 30.437622°		 ← 97.84 m → N 80.782638°
W 30.432129°		 →
↑
97.79 m
↓
↑
97.79 m
↓
N 80.781758°
W 30.437622°		 ← 97.85 m →
9 568 m²		 N 80.781758°
W 30.432129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415458679199219 y=0.0992355346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415458679199219 × 216)
    floor (0.415458679199219 × 65536)
    floor (27227.5)     		tx = 27227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0992355346679688 × 216)
    floor (0.0992355346679688 × 65536)
    floor (6503.5)     		ty = 6503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27227 / 6503 ti = "16/27227/6503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27227/6503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27227 ÷ 216
    27227 ÷ 65536     		x = 0.415451049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6503 ÷ 216
    6503 ÷ 65536     		y = 0.0992279052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415451049804688 × 2 - 1) × π
    -0.169097900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53123672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0992279052734375 × 2 - 1) × π
    0.801544189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51812533704155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53123672} λ = -0.53123672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51812533704155))-π/2
    2×atan(12.4053190594351)-π/2
    2×1.49035967061794-π/2
    2.98071934123588-1.57079632675     		φ = 1.40992301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53123672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.437622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40992301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.782638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27227 KachelY 6503 -0.53123672 1.40992301 -30.437622 80.782638
    Oben rechts KachelX + 1 27228 KachelY 6503 -0.53114085 1.40992301 -30.432129 80.782638
    Unten links KachelX 27227 KachelY + 1 6504 -0.53123672 1.40990766 -30.437622 80.781758
    Unten rechts KachelX + 1 27228 KachelY + 1 6504 -0.53114085 1.40990766 -30.432129 80.781758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40992301-1.40990766) × R
    1.53499999999696e-05 × 6371000     		dl = 97.794849999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40992301-1.40990766) × R
    1.53499999999696e-05 × 6371000     		dr = 97.794849999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53123672--0.53114085) × cos(1.40992301) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160180307917027 × 6371000     		do = 97.8361730705522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53123672--0.53114085) × cos(1.40990766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160195459695451 × 6371000     		du = 97.8454275915069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40992301)-sin(1.40990766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160180307917027-0.160195459695451)×R²
    abs(-0.53114085--0.53123672)×1.51517784232891e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51517784232891e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51517784232891e-05×40589641000000     		ar = 9568.3263925793m²