Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27225 / 7658
↖ ↑ ↗
← N 79.708796°
W 30.448608°		 ← 109.12 m → N 79.708796°
W 30.443115°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
N 79.707815°
W 30.448608°		 ← 109.13 m →
11 909 m²		 N 79.707815°
W 30.443115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415428161621094 y=0.116859436035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415428161621094 × 216)
    floor (0.415428161621094 × 65536)
    floor (27225.5)     		tx = 27225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116859436035156 × 216)
    floor (0.116859436035156 × 65536)
    floor (7658.5)     		ty = 7658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27225 / 7658 ti = "16/27225/7658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27225/7658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27225 ÷ 216
    27225 ÷ 65536     		x = 0.415420532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7658 ÷ 216
    7658 ÷ 65536     		y = 0.116851806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415420532226562 × 2 - 1) × π
    -0.169158935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53142847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116851806640625 × 2 - 1) × π
    0.76629638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.40739109891922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53142847} λ = -0.53142847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40739109891922))-π/2
    2×atan(11.1049515997717)-π/2
    2×1.48098863421131-π/2
    2.96197726842261-1.57079632675     		φ = 1.39118094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53142847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.448608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39118094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.708796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27225 KachelY 7658 -0.53142847 1.39118094 -30.448608 79.708796
    Oben rechts KachelX + 1 27226 KachelY 7658 -0.53133260 1.39118094 -30.443115 79.708796
    Unten links KachelX 27225 KachelY + 1 7659 -0.53142847 1.39116381 -30.448608 79.707815
    Unten rechts KachelX + 1 27226 KachelY + 1 7659 -0.53133260 1.39116381 -30.443115 79.707815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39118094-1.39116381) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39118094-1.39116381) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53142847--0.53133260) × cos(1.39118094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178651160917467 × 6371000     		do = 109.117944184689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53142847--0.53133260) × cos(1.39116381) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178668015311989 × 6371000     		du = 109.128238642733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39118094)-sin(1.39116381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178651160917467-0.178668015311989)×R²
    abs(-0.53133260--0.53142847)×1.68543945214816e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68543945214816e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68543945214816e-05×40589641000000     		ar = 11909.1736802701m²