Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27225 / 6501
↖ ↑ ↗
← N 80.784398°
W 30.448608°		 ← 97.82 m → N 80.784398°
W 30.443115°		 →
↑
97.86 m
↓
↑
97.86 m
↓
N 80.783518°
W 30.448608°		 ← 97.83 m →
9 573 m²		 N 80.783518°
W 30.443115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415428161621094 y=0.0992050170898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415428161621094 × 216)
    floor (0.415428161621094 × 65536)
    floor (27225.5)     		tx = 27225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0992050170898438 × 216)
    floor (0.0992050170898438 × 65536)
    floor (6501.5)     		ty = 6501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27225 / 6501 ti = "16/27225/6501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27225/6501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27225 ÷ 216
    27225 ÷ 65536     		x = 0.415420532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6501 ÷ 216
    6501 ÷ 65536     		y = 0.0991973876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415420532226562 × 2 - 1) × π
    -0.169158935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53142847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0991973876953125 × 2 - 1) × π
    0.801605224609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51831708464003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53142847} λ = -0.53142847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51831708464003))-π/2
    2×atan(12.4076979776418)-π/2
    2×1.49037502625896-π/2
    2.98075005251793-1.57079632675     		φ = 1.40995373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53142847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.448608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40995373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.784398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27225 KachelY 6501 -0.53142847 1.40995373 -30.448608 80.784398
    Oben rechts KachelX + 1 27226 KachelY 6501 -0.53133260 1.40995373 -30.443115 80.784398
    Unten links KachelX 27225 KachelY + 1 6502 -0.53142847 1.40993837 -30.448608 80.783518
    Unten rechts KachelX + 1 27226 KachelY + 1 6502 -0.53133260 1.40993837 -30.443115 80.783518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40995373-1.40993837) × R
    1.53599999999088e-05 × 6371000     		dl = 97.8585599994188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40995373-1.40993837) × R
    1.53599999999088e-05 × 6371000     		dr = 97.8585599994188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53142847--0.53133260) × cos(1.40995373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160149984505104 × 6371000     		do = 97.8176519014049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53142847--0.53133260) × cos(1.40993837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160165146229959 × 6371000     		du = 97.8269124975187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40995373)-sin(1.40993837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160149984505104-0.160165146229959)×R²
    abs(-0.53133260--0.53142847)×1.51617248553004e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51617248553004e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51617248553004e-05×40589641000000     		ar = 9572.74767215839m²