Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27219 / 7634
↖ ↑ ↗
← N 79.732323°
W 30.481567°		 ← 108.87 m → N 79.732323°
W 30.476074°		 →
↑
108.88 m
↓
↑
108.88 m
↓
N 79.731343°
W 30.481567°		 ← 108.88 m →
11 854 m²		 N 79.731343°
W 30.476074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415336608886719 y=0.116493225097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415336608886719 × 216)
    floor (0.415336608886719 × 65536)
    floor (27219.5)     		tx = 27219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116493225097656 × 216)
    floor (0.116493225097656 × 65536)
    floor (7634.5)     		ty = 7634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27219 / 7634 ti = "16/27219/7634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27219/7634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27219 ÷ 216
    27219 ÷ 65536     		x = 0.415328979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7634 ÷ 216
    7634 ÷ 65536     		y = 0.116485595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415328979492188 × 2 - 1) × π
    -0.169342041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53200371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116485595703125 × 2 - 1) × π
    0.76702880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.40969207010098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53200371} λ = -0.53200371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40969207010098))-π/2
    2×atan(11.1305331933457)-π/2
    2×1.48119393730402-π/2
    2.96238787460804-1.57079632675     		φ = 1.39159155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53200371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.481567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39159155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.732323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27219 KachelY 7634 -0.53200371 1.39159155 -30.481567 79.732323
    Oben rechts KachelX + 1 27220 KachelY 7634 -0.53190784 1.39159155 -30.476074 79.732323
    Unten links KachelX 27219 KachelY + 1 7635 -0.53200371 1.39157446 -30.481567 79.731343
    Unten rechts KachelX + 1 27220 KachelY + 1 7635 -0.53190784 1.39157446 -30.476074 79.731343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39159155-1.39157446) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dl = 108.880390000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39159155-1.39157446) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dr = 108.880390000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53200371--0.53190784) × cos(1.39159155) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178247141566231 × 6371000     		do = 108.87117410611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53200371--0.53190784) × cos(1.39157446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178263957856671 × 6371000     		du = 108.881445290647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39159155)-sin(1.39157446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178247141566231-0.178263957856671)×R²
    abs(-0.53190784--0.53200371)×1.68162904393698e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68162904393698e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68162904393698e-05×40589641000000     		ar = 11854.4950618708m²