Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27218 / 10582
↖ ↑ ↗
← N 53.605544°
E119.025879°		 ← 724.85 m → N 53.605544°
E119.036865°		 →
↑
724.89 m
↓
↑
724.89 m
↓
N 53.599025°
E119.025879°		 ← 724.96 m →
525 478 m²		 N 53.599025°
E119.036865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830642700195312 y=0.322952270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830642700195312 × 215)
    floor (0.830642700195312 × 32768)
    floor (27218.5)     		tx = 27218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322952270507812 × 215)
    floor (0.322952270507812 × 32768)
    floor (10582.5)     		ty = 10582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27218 / 10582 ti = "15/27218/10582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27218/10582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27218 ÷ 215
    27218 ÷ 32768     		x = 0.83062744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10582 ÷ 215
    10582 ÷ 32768     		y = 0.32293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83062744140625 × 2 - 1) × π
    0.6612548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07739348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32293701171875 × 2 - 1) × π
    0.3541259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11251956638226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07739348} λ = 2.07739348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11251956638226))-π/2
    2×atan(3.04201330131146)-π/2
    2×1.25319478431538-π/2
    2.50638956863075-1.57079632675     		φ = 0.93559324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07739348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.025879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93559324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.605544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27218 KachelY 10582 2.07739348 0.93559324 119.025879 53.605544
    Oben rechts KachelX + 1 27219 KachelY 10582 2.07758523 0.93559324 119.036865 53.605544
    Unten links KachelX 27218 KachelY + 1 10583 2.07739348 0.93547946 119.025879 53.599025
    Unten rechts KachelX + 1 27219 KachelY + 1 10583 2.07758523 0.93547946 119.036865 53.599025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93559324-0.93547946) × R
    0.000113779999999952 × 6371000     		dl = 724.892379999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93559324-0.93547946) × R
    0.000113779999999952 × 6371000     		dr = 724.892379999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07739348-2.07758523) × cos(0.93559324) × R
    0.000191749999999935 × 0.593341001552608 × 6371000     		do = 724.848656130731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07739348-2.07758523) × cos(0.93547946) × R
    0.000191749999999935 × 0.593432585060802 × 6371000     		du = 724.960538138994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93559324)-sin(0.93547946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593341001552608-0.593432585060802)×R²
    abs(2.07758523-2.07739348)×9.15835081943817e-05×R²
    0.000191749999999935×9.15835081943817e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.15835081943817e-05×40589641000000     		ar = 525477.819256336m²