Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27216 / 7648
↖ ↑ ↗
← N 79.718605°
W 30.498047°		 ← 109.02 m → N 79.718605°
W 30.492554°		 →
↑
109.01 m
↓
↑
109.01 m
↓
N 79.717625°
W 30.498047°		 ← 109.03 m →
11 884 m²		 N 79.717625°
W 30.492554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415290832519531 y=0.116706848144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415290832519531 × 216)
    floor (0.415290832519531 × 65536)
    floor (27216.5)     		tx = 27216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116706848144531 × 216)
    floor (0.116706848144531 × 65536)
    floor (7648.5)     		ty = 7648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27216 / 7648 ti = "16/27216/7648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27216/7648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27216 ÷ 216
    27216 ÷ 65536     		x = 0.415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7648 ÷ 216
    7648 ÷ 65536     		y = 0.11669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.16943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53229133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11669921875 × 2 - 1) × π
    0.7666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40834983691162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53229133} λ = -0.53229133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40834983691162))-π/2
    2×atan(11.1156034441222)-π/2
    2×1.48107423365786-π/2
    2.96214846731572-1.57079632675     		φ = 1.39135214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53229133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.498047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39135214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.718605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27216 KachelY 7648 -0.53229133 1.39135214 -30.498047 79.718605
    Oben rechts KachelX + 1 27217 KachelY 7648 -0.53219546 1.39135214 -30.492554 79.718605
    Unten links KachelX 27216 KachelY + 1 7649 -0.53229133 1.39133503 -30.498047 79.717625
    Unten rechts KachelX + 1 27217 KachelY + 1 7649 -0.53219546 1.39133503 -30.492554 79.717625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39135214-1.39133503) × R
    1.71099999999313e-05 × 6371000     		dl = 109.007809999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39135214-1.39133503) × R
    1.71099999999313e-05 × 6371000     		dr = 109.007809999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53229133--0.53219546) × cos(1.39135214) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178482712484118 × 6371000     		do = 109.015057941723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53229133--0.53219546) × cos(1.39133503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17849954772354 × 6371000     		du = 109.025340700067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39135214)-sin(1.39133503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178482712484118-0.17849954772354)×R²
    abs(-0.53219546--0.53229133)×1.6835239421642e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6835239421642e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6835239421642e-05×40589641000000     		ar = 11884.053174175m²