Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27216 / 25103
↖ ↑ ↗
← S 68.716453°
E119.003906°		 ← 443.41 m → S 68.716453°
E119.014892°		 →
↑
443.36 m
↓
↑
443.36 m
↓
S 68.720440°
E119.003906°		 ← 443.33 m →
196 573 m²		 S 68.720440°
E119.014892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830581665039062 y=0.766098022460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830581665039062 × 215)
    floor (0.830581665039062 × 32768)
    floor (27216.5)     		tx = 27216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766098022460938 × 215)
    floor (0.766098022460938 × 32768)
    floor (25103.5)     		ty = 25103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27216 / 25103 ti = "15/27216/25103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27216/25103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27216 ÷ 215
    27216 ÷ 32768     		x = 0.83056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25103 ÷ 215
    25103 ÷ 32768     		y = 0.766082763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83056640625 × 2 - 1) × π
    0.6611328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07700999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766082763671875 × 2 - 1) × π
    -0.53216552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67184731114908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07700999} λ = 2.07700999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67184731114908))-π/2
    2×atan(0.187899635739976)-π/2
    2×0.185733985238052-π/2
    0.371467970476105-1.57079632675     		φ = -1.19932836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07700999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.003906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19932836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.716453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27216 KachelY 25103 2.07700999 -1.19932836 119.003906 -68.716453
    Oben rechts KachelX + 1 27217 KachelY 25103 2.07720173 -1.19932836 119.014892 -68.716453
    Unten links KachelX 27216 KachelY + 1 25104 2.07700999 -1.19939795 119.003906 -68.720440
    Unten rechts KachelX + 1 27217 KachelY + 1 25104 2.07720173 -1.19939795 119.014892 -68.720440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19932836--1.19939795) × R
    6.95900000000638e-05 × 6371000     		dl = 443.357890000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19932836--1.19939795) × R
    6.95900000000638e-05 × 6371000     		dr = 443.357890000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07700999-2.07720173) × cos(-1.19932836) × R
    0.000191739999999996 × 0.362983667431467 × 6371000     		do = 443.411969553765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07700999-2.07720173) × cos(-1.19939795) × R
    0.000191739999999996 × 0.362918822903626 × 6371000     		du = 443.332757064652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19932836)-sin(-1.19939795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362983667431467-0.362918822903626)×R²
    abs(2.07720173-2.07700999)×6.48445278410015e-05×R²
    0.000191739999999996×6.48445278410015e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.48445278410015e-05×40589641000000     		ar = 196572.635560759m²