Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27213 / 10556
↖ ↑ ↗
← N 53.774689°
E118.970947°		 ← 721.94 m → N 53.774689°
E118.981934°		 →
↑
721.96 m
↓
↑
721.96 m
↓
N 53.768196°
E118.970947°		 ← 722.05 m →
521 255 m²		 N 53.768196°
E118.981934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830490112304688 y=0.322158813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830490112304688 × 215)
    floor (0.830490112304688 × 32768)
    floor (27213.5)     		tx = 27213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322158813476562 × 215)
    floor (0.322158813476562 × 32768)
    floor (10556.5)     		ty = 10556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27213 / 10556 ti = "15/27213/10556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27213/10556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27213 ÷ 215
    27213 ÷ 32768     		x = 0.830474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10556 ÷ 215
    10556 ÷ 32768     		y = 0.3221435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830474853515625 × 2 - 1) × π
    0.66094970703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07643474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3221435546875 × 2 - 1) × π
    0.355712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11750500394275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07643474} λ = 2.07643474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11750500394275))-π/2
    2×atan(3.05721693557799)-π/2
    2×1.25467085068566-π/2
    2.50934170137132-1.57079632675     		φ = 0.93854537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07643474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.970947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93854537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.774689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27213 KachelY 10556 2.07643474 0.93854537 118.970947 53.774689
    Oben rechts KachelX + 1 27214 KachelY 10556 2.07662649 0.93854537 118.981934 53.774689
    Unten links KachelX 27213 KachelY + 1 10557 2.07643474 0.93843205 118.970947 53.768196
    Unten rechts KachelX + 1 27214 KachelY + 1 10557 2.07662649 0.93843205 118.981934 53.768196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93854537-0.93843205) × R
    0.000113320000000083 × 6371000     		dl = 721.961720000531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93854537-0.93843205) × R
    0.000113320000000083 × 6371000     		dr = 721.961720000531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07643474-2.07662649) × cos(0.93854537) × R
    0.000191750000000379 × 0.590962098876009 × 6371000     		do = 721.942495250741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07643474-2.07662649) × cos(0.93843205) × R
    0.000191750000000379 × 0.591053510248696 × 6371000     		du = 722.054166971512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93854537)-sin(0.93843205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590962098876009-0.591053510248696)×R²
    abs(2.07662649-2.07643474)×9.14113726872001e-05×R²
    0.000191750000000379×9.14113726872001e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.14113726872001e-05×40589641000000     		ar = 521255.157523812m²