Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27212 / 10558
↖ ↑ ↗
← N 53.761702°
E118.959961°		 ← 722.13 m → N 53.761702°
E118.970947°		 →
↑
722.22 m
↓
↑
722.22 m
↓
N 53.755207°
E118.959961°		 ← 722.24 m →
521 573 m²		 N 53.755207°
E118.970947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830459594726562 y=0.322219848632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830459594726562 × 215)
    floor (0.830459594726562 × 32768)
    floor (27212.5)     		tx = 27212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322219848632812 × 215)
    floor (0.322219848632812 × 32768)
    floor (10558.5)     		ty = 10558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27212 / 10558 ti = "15/27212/10558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27212/10558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27212 ÷ 215
    27212 ÷ 32768     		x = 0.8304443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10558 ÷ 215
    10558 ÷ 32768     		y = 0.32220458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8304443359375 × 2 - 1) × π
    0.660888671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07624300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32220458984375 × 2 - 1) × π
    0.3555908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11712150874579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07624300} λ = 2.07624300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11712150874579))-π/2
    2×atan(3.05604473234865)-π/2
    2×1.25455751759433-π/2
    2.50911503518866-1.57079632675     		φ = 0.93831871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07624300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.959961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93831871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.761702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27212 KachelY 10558 2.07624300 0.93831871 118.959961 53.761702
    Oben rechts KachelX + 1 27213 KachelY 10558 2.07643474 0.93831871 118.970947 53.761702
    Unten links KachelX 27212 KachelY + 1 10559 2.07624300 0.93820535 118.959961 53.755207
    Unten rechts KachelX + 1 27213 KachelY + 1 10559 2.07643474 0.93820535 118.970947 53.755207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93831871-0.93820535) × R
    0.000113359999999951 × 6371000     		dl = 722.21655999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93831871-0.93820535) × R
    0.000113359999999951 × 6371000     		dr = 722.21655999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07624300-2.07643474) × cos(0.93831871) × R
    0.000191739999999996 × 0.591144930162723 × 6371000     		do = 722.128187281775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07624300-2.07643474) × cos(0.93820535) × R
    0.000191739999999996 × 0.591236358612895 × 6371000     		du = 722.239874040165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93831871)-sin(0.93820535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591144930162723-0.591236358612895)×R²
    abs(2.07643474-2.07624300)×9.14284501719598e-05×R²
    0.000191739999999996×9.14284501719598e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.14284501719598e-05×40589641000000     		ar = 521573.26686878m²