Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27211 / 7675
↖ ↑ ↗
← N 79.692100°
W 30.525513°		 ← 109.29 m → N 79.692100°
W 30.520020°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
N 79.691117°
W 30.525513°		 ← 109.30 m →
11 942 m²		 N 79.691117°
W 30.520020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415214538574219 y=0.117118835449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415214538574219 × 216)
    floor (0.415214538574219 × 65536)
    floor (27211.5)     		tx = 27211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117118835449219 × 216)
    floor (0.117118835449219 × 65536)
    floor (7675.5)     		ty = 7675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27211 / 7675 ti = "16/27211/7675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27211/7675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27211 ÷ 216
    27211 ÷ 65536     		x = 0.415206909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7675 ÷ 216
    7675 ÷ 65536     		y = 0.117111206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415206909179688 × 2 - 1) × π
    -0.169586181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53277070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117111206054688 × 2 - 1) × π
    0.765777587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40576124433214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53277070} λ = -0.53277070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40576124433214))-π/2
    2×atan(11.0868668851984)-π/2
    2×1.48084292971048-π/2
    2.96168585942095-1.57079632675     		φ = 1.39088953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53277070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.525513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39088953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.692100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27211 KachelY 7675 -0.53277070 1.39088953 -30.525513 79.692100
    Oben rechts KachelX + 1 27212 KachelY 7675 -0.53267483 1.39088953 -30.520020 79.692100
    Unten links KachelX 27211 KachelY + 1 7676 -0.53277070 1.39087238 -30.525513 79.691117
    Unten rechts KachelX + 1 27212 KachelY + 1 7676 -0.53267483 1.39087238 -30.520020 79.691117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39088953-1.39087238) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dl = 109.262649999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39088953-1.39087238) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dr = 109.262649999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53277070--0.53267483) × cos(1.39088953) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178937875262868 × 6371000     		do = 109.293065800343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53277070--0.53267483) × cos(1.39087238) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178954748441977 × 6371000     		du = 109.303371731784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39088953)-sin(1.39087238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178937875262868-0.178954748441977)×R²
    abs(-0.53267483--0.53277070)×1.68731791094223e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68731791094223e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68731791094223e-05×40589641000000     		ar = 11942.2130231515m²