Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27210 / 7676
↖ ↑ ↗
← N 79.691117°
W 30.531006°		 ← 109.31 m → N 79.691117°
W 30.525513°		 →
↑
109.33 m
↓
↑
109.33 m
↓
N 79.690134°
W 30.531006°		 ← 109.33 m →
11 952 m²		 N 79.690134°
W 30.525513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415199279785156 y=0.117134094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415199279785156 × 216)
    floor (0.415199279785156 × 65536)
    floor (27210.5)     		tx = 27210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117134094238281 × 216)
    floor (0.117134094238281 × 65536)
    floor (7676.5)     		ty = 7676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27210 / 7676 ti = "16/27210/7676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27210/7676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27210 ÷ 216
    27210 ÷ 65536     		x = 0.415191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7676 ÷ 216
    7676 ÷ 65536     		y = 0.11712646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415191650390625 × 2 - 1) × π
    -0.16961669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53286658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11712646484375 × 2 - 1) × π
    0.7657470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4056653705329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53286658} λ = -0.53286658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4056653705329))-π/2
    2×atan(11.0858039961009)-π/2
    2×1.48083435157907-π/2
    2.96166870315814-1.57079632675     		φ = 1.39087238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53286658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.531006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39087238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.691117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27210 KachelY 7676 -0.53286658 1.39087238 -30.531006 79.691117
    Oben rechts KachelX + 1 27211 KachelY 7676 -0.53277070 1.39087238 -30.525513 79.691117
    Unten links KachelX 27210 KachelY + 1 7677 -0.53286658 1.39085522 -30.531006 79.690134
    Unten rechts KachelX + 1 27211 KachelY + 1 7677 -0.53277070 1.39085522 -30.525513 79.690134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39087238-1.39085522) × R
    1.71600000000716e-05 × 6371000     		dl = 109.326360000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39087238-1.39085522) × R
    1.71600000000716e-05 × 6371000     		dr = 109.326360000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53286658--0.53277070) × cos(1.39087238) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178954748441977 × 6371000     		do = 109.314772938738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53286658--0.53277070) × cos(1.39085522) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178971631406995 × 6371000     		du = 109.325085922906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39087238)-sin(1.39085522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178954748441977-0.178971631406995)×R²
    abs(-0.53277070--0.53286658)×1.68829650173119e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.68829650173119e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.68829650173119e-05×40589641000000     		ar = 11951.5499604386m²