Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27210 / 7673
↖ ↑ ↗
← N 79.694066°
W 30.531006°		 ← 109.28 m → N 79.694066°
W 30.525513°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
N 79.693083°
W 30.531006°		 ← 109.29 m →
11 941 m²		 N 79.693083°
W 30.525513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415199279785156 y=0.117088317871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415199279785156 × 216)
    floor (0.415199279785156 × 65536)
    floor (27210.5)     		tx = 27210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117088317871094 × 216)
    floor (0.117088317871094 × 65536)
    floor (7673.5)     		ty = 7673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27210 / 7673 ti = "16/27210/7673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27210/7673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27210 ÷ 216
    27210 ÷ 65536     		x = 0.415191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7673 ÷ 216
    7673 ÷ 65536     		y = 0.117080688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415191650390625 × 2 - 1) × π
    -0.16961669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53286658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117080688476562 × 2 - 1) × π
    0.765838623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.40595299193062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53286658} λ = -0.53286658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40595299193062))-π/2
    2×atan(11.0889929691276)-π/2
    2×1.48086008354604-π/2
    2.96172016709209-1.57079632675     		φ = 1.39092384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53286658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.531006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39092384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.694066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27210 KachelY 7673 -0.53286658 1.39092384 -30.531006 79.694066
    Oben rechts KachelX + 1 27211 KachelY 7673 -0.53277070 1.39092384 -30.525513 79.694066
    Unten links KachelX 27210 KachelY + 1 7674 -0.53286658 1.39090669 -30.531006 79.693083
    Unten rechts KachelX + 1 27211 KachelY + 1 7674 -0.53277070 1.39090669 -30.525513 79.693083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39092384-1.39090669) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dl = 109.262649999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39092384-1.39090669) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dr = 109.262649999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53286658--0.53277070) × cos(1.39092384) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.1789041189081 × 6371000     		do = 109.283845813037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53286658--0.53277070) × cos(1.39090669) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178920992192494 × 6371000     		du = 109.294152883782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39092384)-sin(1.39090669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1789041189081-0.178920992192494)×R²
    abs(-0.53277070--0.53286658)×1.6873284394453e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.6873284394453e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.6873284394453e-05×40589641000000     		ar = 11941.2056847281m²