Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27209 / 7687
↖ ↑ ↗
← N 79.680298°
W 30.536499°		 ← 109.42 m → N 79.680298°
W 30.531006°		 →
↑
109.45 m
↓
↑
109.45 m
↓
N 79.679314°
W 30.536499°		 ← 109.43 m →
11 977 m²		 N 79.679314°
W 30.531006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415184020996094 y=0.117301940917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415184020996094 × 216)
    floor (0.415184020996094 × 65536)
    floor (27209.5)     		tx = 27209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117301940917969 × 216)
    floor (0.117301940917969 × 65536)
    floor (7687.5)     		ty = 7687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27209 / 7687 ti = "16/27209/7687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27209/7687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27209 ÷ 216
    27209 ÷ 65536     		x = 0.415176391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7687 ÷ 216
    7687 ÷ 65536     		y = 0.117294311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415176391601562 × 2 - 1) × π
    -0.169647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53296245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117294311523438 × 2 - 1) × π
    0.765411376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40461075874126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53296245} λ = -0.53296245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40461075874126))-π/2
    2×atan(11.0741189391692)-π/2
    2×1.48073993871147-π/2
    2.96147987742294-1.57079632675     		φ = 1.39068355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53296245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.536499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39068355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.680298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27209 KachelY 7687 -0.53296245 1.39068355 -30.536499 79.680298
    Oben rechts KachelX + 1 27210 KachelY 7687 -0.53286658 1.39068355 -30.531006 79.680298
    Unten links KachelX 27209 KachelY + 1 7688 -0.53296245 1.39066637 -30.536499 79.679314
    Unten rechts KachelX + 1 27210 KachelY + 1 7688 -0.53286658 1.39066637 -30.531006 79.679314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39068355-1.39066637) × R
    1.71800000001721e-05 × 6371000     		dl = 109.453780001096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39068355-1.39066637) × R
    1.71800000001721e-05 × 6371000     		dr = 109.453780001096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53296245--0.53286658) × cos(1.39068355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179140527025438 × 6371000     		do = 109.416843018489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53296245--0.53286658) × cos(1.39066637) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179157429086664 × 6371000     		du = 109.427166590774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39068355)-sin(1.39066637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179140527025438-0.179157429086664)×R²
    abs(-0.53286658--0.53296245)×1.69020612263149e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.69020612263149e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.69020612263149e-05×40589641000000     		ar = 11976.652041359m²