Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27209 / 7686
↖ ↑ ↗
← N 79.681282°
W 30.536499°		 ← 109.41 m → N 79.681282°
W 30.531006°		 →
↑
109.39 m
↓
↑
109.39 m
↓
N 79.680298°
W 30.536499°		 ← 109.42 m →
11 969 m²		 N 79.680298°
W 30.531006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415184020996094 y=0.117286682128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415184020996094 × 216)
    floor (0.415184020996094 × 65536)
    floor (27209.5)     		tx = 27209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117286682128906 × 216)
    floor (0.117286682128906 × 65536)
    floor (7686.5)     		ty = 7686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27209 / 7686 ti = "16/27209/7686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27209/7686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27209 ÷ 216
    27209 ÷ 65536     		x = 0.415176391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7686 ÷ 216
    7686 ÷ 65536     		y = 0.117279052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415176391601562 × 2 - 1) × π
    -0.169647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53296245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117279052734375 × 2 - 1) × π
    0.76544189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4047066325405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53296245} λ = -0.53296245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4047066325405))-π/2
    2×atan(11.0751807079222)-π/2
    2×1.48074852574792-π/2
    2.96149705149584-1.57079632675     		φ = 1.39070072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53296245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.536499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39070072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.681282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27209 KachelY 7686 -0.53296245 1.39070072 -30.536499 79.681282
    Oben rechts KachelX + 1 27210 KachelY 7686 -0.53286658 1.39070072 -30.531006 79.681282
    Unten links KachelX 27209 KachelY + 1 7687 -0.53296245 1.39068355 -30.536499 79.680298
    Unten rechts KachelX + 1 27210 KachelY + 1 7687 -0.53286658 1.39068355 -30.531006 79.680298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39070072-1.39068355) × R
    1.71699999997887e-05 × 6371000     		dl = 109.390069998654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39070072-1.39068355) × R
    1.71699999997887e-05 × 6371000     		dr = 109.390069998654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53296245--0.53286658) × cos(1.39070072) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179123634749604 × 6371000     		do = 109.406525423002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53296245--0.53286658) × cos(1.39068355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179140527025438 × 6371000     		du = 109.416843018489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39070072)-sin(1.39068355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179123634749604-0.179140527025438)×R²
    abs(-0.53286658--0.53296245)×1.68922758339851e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68922758339851e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68922758339851e-05×40589641000000     		ar = 11968.5517958442m²