Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 27208 / 8775
↖ ↑ ↗
← N 82.469309°
W105.270996°		 ← 40.03 m → N 82.469309°
W105.268249°		 →
↑
40.01 m
↓
↑
40.01 m
↓
N 82.468950°
W105.270996°		 ← 40.03 m →
1 602 m²		 N 82.468950°
W105.268249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.207584381103516 y=0.0669517517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.207584381103516 × 217)
    floor (0.207584381103516 × 131072)
    floor (27208.5)     		tx = 27208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0669517517089844 × 217)
    floor (0.0669517517089844 × 131072)
    floor (8775.5)     		ty = 8775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 27208 / 8775 ti = "17/27208/8775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/27208/8775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27208 ÷ 217
    27208 ÷ 131072     		x = 0.20758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8775 ÷ 217
    8775 ÷ 131072     		y = 0.0669479370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.20758056640625 × 2 - 1) × π
    -0.5848388671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.83732549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0669479370117188 × 2 - 1) × π
    0.866104125976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.72094635933401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.83732549} λ = -1.83732549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72094635933401))-π/2
    2×atan(15.1946950844664)-π/2
    2×1.50507865522153-π/2
    3.01015731044306-1.57079632675     		φ = 1.43936098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.83732549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.270996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43936098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.469309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27208 KachelY 8775 -1.83732549 1.43936098 -105.270996 82.469309
    Oben rechts KachelX + 1 27209 KachelY 8775 -1.83727755 1.43936098 -105.268249 82.469309
    Unten links KachelX 27208 KachelY + 1 8776 -1.83732549 1.43935470 -105.270996 82.468950
    Unten rechts KachelX + 1 27209 KachelY + 1 8776 -1.83727755 1.43935470 -105.268249 82.468950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43936098-1.43935470) × R
    6.28000000002515e-06 × 6371000     		dl = 40.0098800001603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43936098-1.43935470) × R
    6.28000000002515e-06 × 6371000     		dr = 40.0098800001603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.83732549--1.83727755) × cos(1.43936098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.131057243779653 × 6371000     		do = 40.0282556637345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.83732549--1.83727755) × cos(1.43935470) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.131063469610827 × 6371000     		du = 40.0301571928282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43936098)-sin(1.43935470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131057243779653-0.131063469610827)×R²
    abs(-1.83727755--1.83732549)×6.22583117479425e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.22583117479425e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.22583117479425e-06×40589641000000     		ar = 1601.56374566676m²