Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27208 / 6477
↖ ↑ ↗
← N 80.805487°
W 30.541992°		 ← 97.60 m → N 80.805487°
W 30.536499°		 →
↑
97.60 m
↓
↑
97.60 m
↓
N 80.804610°
W 30.541992°		 ← 97.60 m →
9 526 m²		 N 80.804610°
W 30.536499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415168762207031 y=0.0988388061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415168762207031 × 216)
    floor (0.415168762207031 × 65536)
    floor (27208.5)     		tx = 27208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988388061523438 × 216)
    floor (0.0988388061523438 × 65536)
    floor (6477.5)     		ty = 6477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27208 / 6477 ti = "16/27208/6477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27208/6477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27208 ÷ 216
    27208 ÷ 65536     		x = 0.4151611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6477 ÷ 216
    6477 ÷ 65536     		y = 0.0988311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4151611328125 × 2 - 1) × π
    -0.169677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53305832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0988311767578125 × 2 - 1) × π
    0.802337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52061805582179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53305832} λ = -0.53305832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52061805582179))-π/2
    2×atan(12.4362806044098)-π/2
    2×1.49055906742633-π/2
    2.98111813485266-1.57079632675     		φ = 1.41032181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53305832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.541992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41032181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.805487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27208 KachelY 6477 -0.53305832 1.41032181 -30.541992 80.805487
    Oben rechts KachelX + 1 27209 KachelY 6477 -0.53296245 1.41032181 -30.536499 80.805487
    Unten links KachelX 27208 KachelY + 1 6478 -0.53305832 1.41030649 -30.541992 80.804610
    Unten rechts KachelX + 1 27209 KachelY + 1 6478 -0.53296245 1.41030649 -30.536499 80.804610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41032181-1.41030649) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dl = 97.603719999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41032181-1.41030649) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dr = 97.603719999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53305832--0.53296245) × cos(1.41032181) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159786644586472 × 6371000     		do = 97.5957283227514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53305832--0.53296245) × cos(1.41030649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159801767729819 × 6371000     		du = 97.604965353752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41032181)-sin(1.41030649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159786644586472-0.159801767729819)×R²
    abs(-0.53296245--0.53305832)×1.51231433475896e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51231433475896e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51231433475896e-05×40589641000000     		ar = 9526.15692480216m²