Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27206 / 25083
↖ ↑ ↗
← S 68.636553°
E118.894043°		 ← 445.02 m → S 68.636553°
E118.905029°		 →
↑
445.01 m
↓
↑
445.01 m
↓
S 68.640555°
E118.894043°		 ← 444.94 m →
198 024 m²		 S 68.640555°
E118.905029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830276489257812 y=0.765487670898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830276489257812 × 215)
    floor (0.830276489257812 × 32768)
    floor (27206.5)     		tx = 27206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765487670898438 × 215)
    floor (0.765487670898438 × 32768)
    floor (25083.5)     		ty = 25083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27206 / 25083 ti = "15/27206/25083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27206/25083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27206 ÷ 215
    27206 ÷ 32768     		x = 0.83026123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25083 ÷ 215
    25083 ÷ 32768     		y = 0.765472412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83026123046875 × 2 - 1) × π
    0.6605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07509251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765472412109375 × 2 - 1) × π
    -0.53094482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66801235917947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07509251} λ = 2.07509251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66801235917947))-π/2
    2×atan(0.188621605292599)-π/2
    2×0.186431242528934-π/2
    0.372862485057868-1.57079632675     		φ = -1.19793384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07509251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.894043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19793384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.636553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27206 KachelY 25083 2.07509251 -1.19793384 118.894043 -68.636553
    Oben rechts KachelX + 1 27207 KachelY 25083 2.07528426 -1.19793384 118.905029 -68.636553
    Unten links KachelX 27206 KachelY + 1 25084 2.07509251 -1.19800369 118.894043 -68.640555
    Unten rechts KachelX + 1 27207 KachelY + 1 25084 2.07528426 -1.19800369 118.905029 -68.640555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19793384--1.19800369) × R
    6.98500000000379e-05 × 6371000     		dl = 445.014350000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19793384--1.19800369) × R
    6.98500000000379e-05 × 6371000     		dr = 445.014350000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07509251-2.07528426) × cos(-1.19793384) × R
    0.000191749999999935 × 0.364282721528907 × 6371000     		do = 445.022070716382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07509251-2.07528426) × cos(-1.19800369) × R
    0.000191749999999935 × 0.364217670144992 × 6371000     		du = 444.942601392525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19793384)-sin(-1.19800369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364282721528907-0.364217670144992)×R²
    abs(2.07528426-2.07509251)×6.50513839147715e-05×R²
    0.000191749999999935×6.50513839147715e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.50513839147715e-05×40589641000000     		ar = 198023.525121239m²