Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27205 / 7688
↖ ↑ ↗
← N 79.679314°
W 30.558472°		 ← 109.44 m → N 79.679314°
W 30.552978°		 →
↑
109.39 m
↓
↑
109.39 m
↓
N 79.678330°
W 30.558472°		 ← 109.45 m →
11 972 m²		 N 79.678330°
W 30.552978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415122985839844 y=0.117317199707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415122985839844 × 216)
    floor (0.415122985839844 × 65536)
    floor (27205.5)     		tx = 27205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117317199707031 × 216)
    floor (0.117317199707031 × 65536)
    floor (7688.5)     		ty = 7688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27205 / 7688 ti = "16/27205/7688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27205/7688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27205 ÷ 216
    27205 ÷ 65536     		x = 0.415115356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7688 ÷ 216
    7688 ÷ 65536     		y = 0.1173095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415115356445312 × 2 - 1) × π
    -0.169769287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53334595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1173095703125 × 2 - 1) × π
    0.765380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.40451488494202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53334595} λ = -0.53334595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40451488494202))-π/2
    2×atan(11.0730572722071)-π/2
    2×1.48073135086503-π/2
    2.96146270173006-1.57079632675     		φ = 1.39066637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53334595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.558472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39066637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.679314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27205 KachelY 7688 -0.53334595 1.39066637 -30.558472 79.679314
    Oben rechts KachelX + 1 27206 KachelY 7688 -0.53325007 1.39066637 -30.552978 79.679314
    Unten links KachelX 27205 KachelY + 1 7689 -0.53334595 1.39064920 -30.558472 79.678330
    Unten rechts KachelX + 1 27206 KachelY + 1 7689 -0.53325007 1.39064920 -30.552978 79.678330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39066637-1.39064920) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dl = 109.390070000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39066637-1.39064920) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dr = 109.390070000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53334595--0.53325007) × cos(1.39066637) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.179157429086664 × 6371000     		do = 109.438580710512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53334595--0.53325007) × cos(1.39064920) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.179174321256838 × 6371000     		du = 109.448899317663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39066637)-sin(1.39064920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179157429086664-0.179174321256838)×R²
    abs(-0.53325007--0.53334595)×1.68921701740044e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.68921701740044e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.68921701740044e-05×40589641000000     		ar = 11972.0583817131m²