Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27205 / 25084
↖ ↑ ↗
← S 68.640555°
E118.883056°		 ← 444.94 m → S 68.640555°
E118.894043°		 →
↑
444.89 m
↓
↑
444.89 m
↓
S 68.644556°
E118.883056°		 ← 444.86 m →
197 931 m²		 S 68.644556°
E118.894043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830245971679688 y=0.765518188476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830245971679688 × 215)
    floor (0.830245971679688 × 32768)
    floor (27205.5)     		tx = 27205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765518188476562 × 215)
    floor (0.765518188476562 × 32768)
    floor (25084.5)     		ty = 25084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27205 / 25084 ti = "15/27205/25084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27205/25084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27205 ÷ 215
    27205 ÷ 32768     		x = 0.830230712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25084 ÷ 215
    25084 ÷ 32768     		y = 0.7655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.830230712890625 × 2 - 1) × π
    0.66046142578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07490076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.531005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66820410677795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07490076} λ = 2.07490076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66820410677795))-π/2
    2×atan(0.188585441020079)-π/2
    2×0.186396320478755-π/2
    0.372792640957511-1.57079632675     		φ = -1.19800369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07490076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.883056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19800369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.640555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27205 KachelY 25084 2.07490076 -1.19800369 118.883056 -68.640555
    Oben rechts KachelX + 1 27206 KachelY 25084 2.07509251 -1.19800369 118.894043 -68.640555
    Unten links KachelX 27205 KachelY + 1 25085 2.07490076 -1.19807352 118.883056 -68.644556
    Unten rechts KachelX + 1 27206 KachelY + 1 25085 2.07509251 -1.19807352 118.894043 -68.644556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19800369--1.19807352) × R
    6.98299999999374e-05 × 6371000     		dl = 444.886929999601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19800369--1.19807352) × R
    6.98299999999374e-05 × 6371000     		dr = 444.886929999601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07490076-2.07509251) × cos(-1.19800369) × R
    0.000191750000000379 × 0.364217670144992 × 6371000     		do = 444.942601393555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07490076-2.07509251) × cos(-1.19807352) × R
    0.000191750000000379 × 0.364152635610837 × 6371000     		du = 444.863152654026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19800369)-sin(-1.19807352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364217670144992-0.364152635610837)×R²
    abs(2.07509251-2.07490076)×6.50345341551284e-05×R²
    0.000191750000000379×6.50345341551284e-05×6371000²
    0.000191750000000379×6.50345341551284e-05×40589641000000     		ar = 197931.475187739m²