Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27203 / 7234
↖ ↑ ↗
← N 80.116678°
W 30.569458°		 ← 104.84 m → N 80.116678°
W 30.563965°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
N 80.115736°
W 30.569458°		 ← 104.85 m →
10 988 m²		 N 80.115736°
W 30.563965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415092468261719 y=0.110389709472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415092468261719 × 216)
    floor (0.415092468261719 × 65536)
    floor (27203.5)     		tx = 27203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110389709472656 × 216)
    floor (0.110389709472656 × 65536)
    floor (7234.5)     		ty = 7234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27203 / 7234 ti = "16/27203/7234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27203/7234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27203 ÷ 216
    27203 ÷ 65536     		x = 0.415084838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7234 ÷ 216
    7234 ÷ 65536     		y = 0.110382080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415084838867188 × 2 - 1) × π
    -0.169830322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53353769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110382080078125 × 2 - 1) × π
    0.77923583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44804158979703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53353769} λ = -0.53353769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44804158979703))-π/2
    2×atan(11.5656741910746)-π/2
    2×1.48454807477036-π/2
    2.96909614954073-1.57079632675     		φ = 1.39829982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53353769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.569458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39829982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.116678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27203 KachelY 7234 -0.53353769 1.39829982 -30.569458 80.116678
    Oben rechts KachelX + 1 27204 KachelY 7234 -0.53344182 1.39829982 -30.563965 80.116678
    Unten links KachelX 27203 KachelY + 1 7235 -0.53353769 1.39828337 -30.569458 80.115736
    Unten rechts KachelX + 1 27204 KachelY + 1 7235 -0.53344182 1.39828337 -30.563965 80.115736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39829982-1.39828337) × R
    1.64500000001677e-05 × 6371000     		dl = 104.802950001069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39829982-1.39828337) × R
    1.64500000001677e-05 × 6371000     		dr = 104.802950001069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53353769--0.53344182) × cos(1.39829982) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171642338360522 × 6371000     		do = 104.837041084807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53353769--0.53344182) × cos(1.39828337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171658544208295 × 6371000     		du = 104.846939418429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39829982)-sin(1.39828337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171642338360522-0.171658544208295)×R²
    abs(-0.53344182--0.53353769)×1.62058477728433e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.62058477728433e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.62058477728433e-05×40589641000000     		ar = 10987.7498626417m²