Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27203 / 6478
↖ ↑ ↗
← N 80.804610°
W 30.569458°		 ← 97.60 m → N 80.804610°
W 30.563965°		 →
↑
97.60 m
↓
↑
97.60 m
↓
N 80.803732°
W 30.569458°		 ← 97.61 m →
9 527 m²		 N 80.803732°
W 30.563965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415092468261719 y=0.0988540649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415092468261719 × 216)
    floor (0.415092468261719 × 65536)
    floor (27203.5)     		tx = 27203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988540649414062 × 216)
    floor (0.0988540649414062 × 65536)
    floor (6478.5)     		ty = 6478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27203 / 6478 ti = "16/27203/6478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27203/6478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27203 ÷ 216
    27203 ÷ 65536     		x = 0.415084838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6478 ÷ 216
    6478 ÷ 65536     		y = 0.098846435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415084838867188 × 2 - 1) × π
    -0.169830322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53353769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098846435546875 × 2 - 1) × π
    0.80230712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52052218202255
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53353769} λ = -0.53353769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52052218202255))-π/2
    2×atan(12.4350883480938)-π/2
    2×1.49055140738742-π/2
    2.98110281477485-1.57079632675     		φ = 1.41030649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53353769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.569458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41030649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.804610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27203 KachelY 6478 -0.53353769 1.41030649 -30.569458 80.804610
    Oben rechts KachelX + 1 27204 KachelY 6478 -0.53344182 1.41030649 -30.563965 80.804610
    Unten links KachelX 27203 KachelY + 1 6479 -0.53353769 1.41029117 -30.569458 80.803732
    Unten rechts KachelX + 1 27204 KachelY + 1 6479 -0.53344182 1.41029117 -30.563965 80.803732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41030649-1.41029117) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dl = 97.603719999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41030649-1.41029117) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dr = 97.603719999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53353769--0.53344182) × cos(1.41030649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159801767729819 × 6371000     		do = 97.604965353752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53353769--0.53344182) × cos(1.41029117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159816890835661 × 6371000     		du = 97.6142023618446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41030649)-sin(1.41029117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159801767729819-0.159816890835661)×R²
    abs(-0.53344182--0.53353769)×1.51231058417578e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51231058417578e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51231058417578e-05×40589641000000     		ar = 9527.0584925362m²