Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27202 / 6525
↖ ↑ ↗
← N 80.763260°
W 30.574951°		 ← 98.05 m → N 80.763260°
W 30.569458°		 →
↑
98.05 m
↓
↑
98.05 m
↓
N 80.762379°
W 30.574951°		 ← 98.06 m →
9 614 m²		 N 80.762379°
W 30.569458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415077209472656 y=0.0995712280273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415077209472656 × 216)
    floor (0.415077209472656 × 65536)
    floor (27202.5)     		tx = 27202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0995712280273438 × 216)
    floor (0.0995712280273438 × 65536)
    floor (6525.5)     		ty = 6525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27202 / 6525 ti = "16/27202/6525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27202/6525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27202 ÷ 216
    27202 ÷ 65536     		x = 0.415069580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6525 ÷ 216
    6525 ÷ 65536     		y = 0.0995635986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415069580078125 × 2 - 1) × π
    -0.16986083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53363357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0995635986328125 × 2 - 1) × π
    0.800872802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51601611345827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53363357} λ = -0.53363357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51601611345827))-π/2
    2×atan(12.3791810430674)-π/2
    2×1.49019056660902-π/2
    2.98038113321805-1.57079632675     		φ = 1.40958481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53363357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.574951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40958481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.763260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27202 KachelY 6525 -0.53363357 1.40958481 -30.574951 80.763260
    Oben rechts KachelX + 1 27203 KachelY 6525 -0.53353769 1.40958481 -30.569458 80.763260
    Unten links KachelX 27202 KachelY + 1 6526 -0.53363357 1.40956942 -30.574951 80.762379
    Unten rechts KachelX + 1 27203 KachelY + 1 6526 -0.53353769 1.40956942 -30.569458 80.762379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40958481-1.40956942) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dl = 98.0496899996719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40958481-1.40956942) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dr = 98.0496899996719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53363357--0.53353769) × cos(1.40958481) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.160514131834387 × 6371000     		do = 98.0502949919997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53363357--0.53353769) × cos(1.40956942) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.160529322261592 × 6371000     		du = 98.0595740869398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40958481)-sin(1.40956942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160514131834387-0.160529322261592)×R²
    abs(-0.53353769--0.53363357)×1.51904272051584e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.51904272051584e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.51904272051584e-05×40589641000000     		ar = 9614.25593463528m²