Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27200 / 6519
↖ ↑ ↗
← N 80.768549°
W 30.585937°		 ← 97.98 m → N 80.768549°
W 30.580444°		 →
↑
97.99 m
↓
↑
97.99 m
↓
N 80.767668°
W 30.585937°		 ← 97.99 m →
9 602 m²		 N 80.767668°
W 30.580444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415046691894531 y=0.0994796752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415046691894531 × 216)
    floor (0.415046691894531 × 65536)
    floor (27200.5)     		tx = 27200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0994796752929688 × 216)
    floor (0.0994796752929688 × 65536)
    floor (6519.5)     		ty = 6519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27200 / 6519 ti = "16/27200/6519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27200/6519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27200 ÷ 216
    27200 ÷ 65536     		x = 0.4150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6519 ÷ 216
    6519 ÷ 65536     		y = 0.0994720458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4150390625 × 2 - 1) × π
    -0.169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53382531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0994720458984375 × 2 - 1) × π
    0.801055908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51659135625371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53382531} λ = -0.53382531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51659135625371))-π/2
    2×atan(12.3863041263306)-π/2
    2×1.49023672080488-π/2
    2.98047344160976-1.57079632675     		φ = 1.40967711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53382531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.585937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40967711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.768549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27200 KachelY 6519 -0.53382531 1.40967711 -30.585937 80.768549
    Oben rechts KachelX + 1 27201 KachelY 6519 -0.53372944 1.40967711 -30.580444 80.768549
    Unten links KachelX 27200 KachelY + 1 6520 -0.53382531 1.40966173 -30.585937 80.767668
    Unten rechts KachelX + 1 27201 KachelY + 1 6520 -0.53372944 1.40966173 -30.580444 80.767668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40967711-1.40966173) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dl = 97.9859800000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40967711-1.40966173) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dr = 97.9859800000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53382531--0.53372944) × cos(1.40967711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160423027954835 × 6371000     		do = 97.9844235011795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53382531--0.53372944) × cos(1.40966173) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160438208739538 × 6371000     		du = 97.9936957388146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40967711)-sin(1.40966173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160423027954835-0.160438208739538)×R²
    abs(-0.53372944--0.53382531)×1.51807847022789e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51807847022789e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51807847022789e-05×40589641000000     		ar = 9601.5540362727m²