Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2720 / 5854
↖ ↑ ↗
← S 60.887700°
W 60.468750°		 ← 2 377.39 m → S 60.887700°
W 60.424805°		 →
↑
2 376.57 m
↓
↑
2 376.57 m
↓
S 60.909073°
W 60.468750°		 ← 2 375.80 m →
5 648 154 m²		 S 60.909073°
W 60.424805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33209228515625 y=0.71466064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33209228515625 × 213)
    floor (0.33209228515625 × 8192)
    floor (2720.5)     		tx = 2720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71466064453125 × 213)
    floor (0.71466064453125 × 8192)
    floor (5854.5)     		ty = 5854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2720 / 5854 ti = "13/2720/5854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2720/5854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2720 ÷ 213
    2720 ÷ 8192     		x = 0.33203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5854 ÷ 213
    5854 ÷ 8192     		y = 0.714599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33203125 × 2 - 1) × π
    -0.3359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.05537878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.42919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.34836911251294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05537878} λ = -1.05537878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34836911251294))-π/2
    2×atan(0.259663397293465)-π/2
    2×0.254052743556349-π/2
    0.508105487112698-1.57079632675     		φ = -1.06269084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05537878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06269084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.887700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2720 KachelY 5854 -1.05537878 -1.06269084 -60.468750 -60.887700
    Oben rechts KachelX + 1 2721 KachelY 5854 -1.05461179 -1.06269084 -60.424805 -60.887700
    Unten links KachelX 2720 KachelY + 1 5855 -1.05537878 -1.06306387 -60.468750 -60.909073
    Unten rechts KachelX + 1 2721 KachelY + 1 5855 -1.05461179 -1.06306387 -60.424805 -60.909073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06269084--1.06306387) × R
    0.000373029999999996 × 6371000     		dl = 2376.57412999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06269084--1.06306387) × R
    0.000373029999999996 × 6371000     		dr = 2376.57412999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05537878--1.05461179) × cos(-1.06269084) × R
    0.000766990000000023 × 0.486522945799752 × 6371000     		do = 2377.39111008159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05537878--1.05461179) × cos(-1.06306387) × R
    0.000766990000000023 × 0.486197007658037 × 6371000     		du = 2375.79841553915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06269084)-sin(-1.06306387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.486522945799752-0.486197007658037)×R²
    abs(-1.05461179--1.05537878)×0.000325938141714943×R²
    0.000766990000000023×0.000325938141714943×6371000²
    0.000766990000000023×0.000325938141714943×40589641000000     		ar = 5648153.69628305m²