Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27198 / 44558
↖ ↑ ↗
← S 54.207436°
W 30.596924°		 ← 357.22 m → S 54.207436°
W 30.591431°		 →
↑
357.22 m
↓
↑
357.22 m
↓
S 54.210649°
W 30.596924°		 ← 357.19 m →
127 602 m²		 S 54.210649°
W 30.591431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415016174316406 y=0.679908752441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415016174316406 × 216)
    floor (0.415016174316406 × 65536)
    floor (27198.5)     		tx = 27198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679908752441406 × 216)
    floor (0.679908752441406 × 65536)
    floor (44558.5)     		ty = 44558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27198 / 44558 ti = "16/27198/44558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27198/44558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27198 ÷ 216
    27198 ÷ 65536     		x = 0.415008544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44558 ÷ 216
    44558 ÷ 65536     		y = 0.679901123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415008544921875 × 2 - 1) × π
    -0.16998291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53401706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679901123046875 × 2 - 1) × π
    -0.35980224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13035209304092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53401706} λ = -0.53401706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13035209304092))-π/2
    2×atan(0.322919538681467)-π/2
    2×0.312349043728739-π/2
    0.624698087457478-1.57079632675     		φ = -0.94609824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53401706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.596924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94609824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.207436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27198 KachelY 44558 -0.53401706 -0.94609824 -30.596924 -54.207436
    Oben rechts KachelX + 1 27199 KachelY 44558 -0.53392119 -0.94609824 -30.591431 -54.207436
    Unten links KachelX 27198 KachelY + 1 44559 -0.53401706 -0.94615431 -30.596924 -54.210649
    Unten rechts KachelX + 1 27199 KachelY + 1 44559 -0.53392119 -0.94615431 -30.591431 -54.210649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94609824--0.94615431) × R
    5.60700000000747e-05 × 6371000     		dl = 357.221970000476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94609824--0.94615431) × R
    5.60700000000747e-05 × 6371000     		dr = 357.221970000476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53401706--0.53392119) × cos(-0.94609824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58485240580328 × 6371000     		do = 357.220696719713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53401706--0.53392119) × cos(-0.94615431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584806924279236 × 6371000     		du = 357.192917161066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94609824)-sin(-0.94615431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58485240580328-0.584806924279236)×R²
    abs(-0.53392119--0.53401706)×4.54815240437112e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54815240437112e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54815240437112e-05×40589641000000     		ar = 127602.119306448m²