Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27194 / 6520
↖ ↑ ↗
← N 80.767668°
W 30.618897°		 ← 98 m → N 80.767668°
W 30.613403°		 →
↑
97.99 m
↓
↑
97.99 m
↓
N 80.766786°
W 30.618897°		 ← 98.01 m →
9 603 m²		 N 80.766786°
W 30.613403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414955139160156 y=0.0994949340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414955139160156 × 216)
    floor (0.414955139160156 × 65536)
    floor (27194.5)     		tx = 27194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0994949340820312 × 216)
    floor (0.0994949340820312 × 65536)
    floor (6520.5)     		ty = 6520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27194 / 6520 ti = "16/27194/6520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27194/6520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27194 ÷ 216
    27194 ÷ 65536     		x = 0.414947509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6520 ÷ 216
    6520 ÷ 65536     		y = 0.0994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414947509765625 × 2 - 1) × π
    -0.17010498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53440056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0994873046875 × 2 - 1) × π
    0.801025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51649548245447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53440056} λ = -0.53440056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51649548245447))-π/2
    2×atan(12.3851166612197)-π/2
    2×1.49022903025864-π/2
    2.98045806051728-1.57079632675     		φ = 1.40966173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53440056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.618897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40966173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.767668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27194 KachelY 6520 -0.53440056 1.40966173 -30.618897 80.767668
    Oben rechts KachelX + 1 27195 KachelY 6520 -0.53430468 1.40966173 -30.613403 80.767668
    Unten links KachelX 27194 KachelY + 1 6521 -0.53440056 1.40964635 -30.618897 80.766786
    Unten rechts KachelX + 1 27195 KachelY + 1 6521 -0.53430468 1.40964635 -30.613403 80.766786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40966173-1.40964635) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dl = 97.9859800000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40966173-1.40964635) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dr = 97.9859800000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53440056--0.53430468) × cos(1.40966173) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.160438208739538 × 6371000     		do = 98.0039172571448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53440056--0.53430468) × cos(1.40964635) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.160453389486289 × 6371000     		du = 98.0131904387655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40966173)-sin(1.40964635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160438208739538-0.160453389486289)×R²
    abs(-0.53430468--0.53440056)×1.5180746751553e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.5180746751553e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.5180746751553e-05×40589641000000     		ar = 9603.46419753029m²