Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27194 / 43536
↖ ↑ ↗
← S 50.792047°
W 30.618897°		 ← 386.14 m → S 50.792047°
W 30.613403°		 →
↑
386.08 m
↓
↑
386.08 m
↓
S 50.795519°
W 30.618897°		 ← 386.11 m →
149 077 m²		 S 50.795519°
W 30.613403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414955139160156 y=0.664314270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414955139160156 × 216)
    floor (0.414955139160156 × 65536)
    floor (27194.5)     		tx = 27194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664314270019531 × 216)
    floor (0.664314270019531 × 65536)
    floor (43536.5)     		ty = 43536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27194 / 43536 ti = "16/27194/43536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27194/43536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27194 ÷ 216
    27194 ÷ 65536     		x = 0.414947509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43536 ÷ 216
    43536 ÷ 65536     		y = 0.664306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414947509765625 × 2 - 1) × π
    -0.17010498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53440056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.32861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03236907021753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53440056} λ = -0.53440056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03236907021753))-π/2
    2×atan(0.356162187070388)-π/2
    2×0.342153935855865-π/2
    0.684307871711729-1.57079632675     		φ = -0.88648846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53440056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.618897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88648846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.792047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27194 KachelY 43536 -0.53440056 -0.88648846 -30.618897 -50.792047
    Oben rechts KachelX + 1 27195 KachelY 43536 -0.53430468 -0.88648846 -30.613403 -50.792047
    Unten links KachelX 27194 KachelY + 1 43537 -0.53440056 -0.88654906 -30.618897 -50.795519
    Unten rechts KachelX + 1 27195 KachelY + 1 43537 -0.53430468 -0.88654906 -30.613403 -50.795519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88648846--0.88654906) × R
    6.05999999999662e-05 × 6371000     		dl = 386.082599999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88648846--0.88654906) × R
    6.05999999999662e-05 × 6371000     		dr = 386.082599999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53440056--0.53430468) × cos(-0.88648846) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.632136858881542 × 6371000     		do = 386.141735810535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53440056--0.53430468) × cos(-0.88654906) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.632089901401466 × 6371000     		du = 386.113051764334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88648846)-sin(-0.88654906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632136858881542-0.632089901401466)×R²
    abs(-0.53430468--0.53440056)×4.6957480075549e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.6957480075549e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.6957480075549e-05×40589641000000     		ar = 149077.068169933m²