Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27193 / 44559
↖ ↑ ↗
← S 54.210649°
W 30.624390°		 ← 357.19 m → S 54.210649°
W 30.618897°		 →
↑
357.16 m
↓
↑
357.16 m
↓
S 54.213861°
W 30.624390°		 ← 357.17 m →
127 569 m²		 S 54.213861°
W 30.618897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414939880371094 y=0.679924011230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414939880371094 × 216)
    floor (0.414939880371094 × 65536)
    floor (27193.5)     		tx = 27193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679924011230469 × 216)
    floor (0.679924011230469 × 65536)
    floor (44559.5)     		ty = 44559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27193 / 44559 ti = "16/27193/44559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27193/44559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27193 ÷ 216
    27193 ÷ 65536     		x = 0.414932250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44559 ÷ 216
    44559 ÷ 65536     		y = 0.679916381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414932250976562 × 2 - 1) × π
    -0.170135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53449643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679916381835938 × 2 - 1) × π
    -0.359832763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.13044796684016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53449643} λ = -0.53449643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13044796684016))-π/2
    2×atan(0.322888580642501)-π/2
    2×0.312321008807769-π/2
    0.624642017615538-1.57079632675     		φ = -0.94615431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53449643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.624390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94615431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.210649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27193 KachelY 44559 -0.53449643 -0.94615431 -30.624390 -54.210649
    Oben rechts KachelX + 1 27194 KachelY 44559 -0.53440056 -0.94615431 -30.618897 -54.210649
    Unten links KachelX 27193 KachelY + 1 44560 -0.53449643 -0.94621037 -30.624390 -54.213861
    Unten rechts KachelX + 1 27194 KachelY + 1 44560 -0.53440056 -0.94621037 -30.618897 -54.213861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94615431--0.94621037) × R
    5.60599999999134e-05 × 6371000     		dl = 357.158259999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94615431--0.94621037) × R
    5.60599999999134e-05 × 6371000     		dr = 357.158259999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53449643--0.53440056) × cos(-0.94615431) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584806924279236 × 6371000     		do = 357.192917161066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53449643--0.53440056) × cos(-0.94621037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.584761449028704 × 6371000     		du = 357.165141434203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94615431)-sin(-0.94621037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584806924279236-0.584761449028704)×R²
    abs(-0.53440056--0.53449643)×4.54752505325562e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54752505325562e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54752505325562e-05×40589641000000     		ar = 127569.440645528m²