Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27191 / 44560
↖ ↑ ↗
← S 54.213861°
W 30.635376°		 ← 357.20 m → S 54.213861°
W 30.629883°		 →
↑
357.22 m
↓
↑
357.22 m
↓
S 54.217073°
W 30.635376°		 ← 357.17 m →
127 596 m²		 S 54.217073°
W 30.629883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414909362792969 y=0.679939270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414909362792969 × 216)
    floor (0.414909362792969 × 65536)
    floor (27191.5)     		tx = 27191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679939270019531 × 216)
    floor (0.679939270019531 × 65536)
    floor (44560.5)     		ty = 44560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27191 / 44560 ti = "16/27191/44560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27191/44560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27191 ÷ 216
    27191 ÷ 65536     		x = 0.414901733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44560 ÷ 216
    44560 ÷ 65536     		y = 0.679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414901733398438 × 2 - 1) × π
    -0.170196533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53468818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.35986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1305438406394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53468818} λ = -0.53468818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1305438406394))-π/2
    2×atan(0.322857625571457)-π/2
    2×0.312292976066995-π/2
    0.624585952133991-1.57079632675     		φ = -0.94621037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53468818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.635376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94621037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.213861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27191 KachelY 44560 -0.53468818 -0.94621037 -30.635376 -54.213861
    Oben rechts KachelX + 1 27192 KachelY 44560 -0.53459230 -0.94621037 -30.629883 -54.213861
    Unten links KachelX 27191 KachelY + 1 44561 -0.53468818 -0.94626644 -30.635376 -54.217073
    Unten rechts KachelX + 1 27192 KachelY + 1 44561 -0.53459230 -0.94626644 -30.629883 -54.217073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94621037--0.94626644) × R
    5.60700000000747e-05 × 6371000     		dl = 357.221970000476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94621037--0.94626644) × R
    5.60700000000747e-05 × 6371000     		dr = 357.221970000476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53468818--0.53459230) × cos(-0.94621037) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.584761449028704 × 6371000     		do = 357.202396585894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53468818--0.53459230) × cos(-0.94626644) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.584715963828047 × 6371000     		du = 357.174611883754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94621037)-sin(-0.94626644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584761449028704-0.584715963828047)×R²
    abs(-0.53459230--0.53468818)×4.54852006572803e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.54852006572803e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.54852006572803e-05×40589641000000     		ar = 127595.581177643m²