Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2719 / 5856
↖ ↑ ↗
← S 60.930432°
W 60.512695°		 ← 2 374.21 m → S 60.930432°
W 60.468750°		 →
↑
2 373.39 m
↓
↑
2 373.39 m
↓
S 60.951777°
W 60.512695°		 ← 2 372.62 m →
5 633 026 m²		 S 60.951777°
W 60.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33197021484375 y=0.71490478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33197021484375 × 213)
    floor (0.33197021484375 × 8192)
    floor (2719.5)     		tx = 2719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71490478515625 × 213)
    floor (0.71490478515625 × 8192)
    floor (5856.5)     		ty = 5856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2719 / 5856 ti = "13/2719/5856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2719/5856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2719 ÷ 213
    2719 ÷ 8192     		x = 0.3319091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5856 ÷ 213
    5856 ÷ 8192     		y = 0.71484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3319091796875 × 2 - 1) × π
    -0.336181640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.05614577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71484375 × 2 - 1) × π
    -0.4296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.34990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05614577} λ = -1.05614577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34990309330078))-π/2
    2×atan(0.259265383981145)-π/2
    2×0.253679835104725-π/2
    0.507359670209449-1.57079632675     		φ = -1.06343666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05614577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.512695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06343666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.930432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2719 KachelY 5856 -1.05614577 -1.06343666 -60.512695 -60.930432
    Oben rechts KachelX + 1 2720 KachelY 5856 -1.05537878 -1.06343666 -60.468750 -60.930432
    Unten links KachelX 2719 KachelY + 1 5857 -1.05614577 -1.06380919 -60.512695 -60.951777
    Unten rechts KachelX + 1 2720 KachelY + 1 5857 -1.05537878 -1.06380919 -60.468750 -60.951777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06343666--1.06380919) × R
    0.000372529999999927 × 6371000     		dl = 2373.38862999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06343666--1.06380919) × R
    0.000372529999999927 × 6371000     		dr = 2373.38862999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05614577--1.05537878) × cos(-1.06343666) × R
    0.000766990000000023 × 0.485871211628651 × 6371000     		do = 2374.20641542765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05614577--1.05537878) × cos(-1.06380919) × R
    0.000766990000000023 × 0.485545575371555 × 6371000     		du = 2372.61519604236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06343666)-sin(-1.06380919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485871211628651-0.485545575371555)×R²
    abs(-1.05537878--1.05614577)×0.00032563625709664×R²
    0.000766990000000023×0.00032563625709664×6371000²
    0.000766990000000023×0.00032563625709664×40589641000000     		ar = 5633026.28579602m²