Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2719 / 5853
↖ ↑ ↗
← S 60.866313°
W 60.512695°		 ← 2 378.98 m → S 60.866313°
W 60.468750°		 →
↑
2 378.17 m
↓
↑
2 378.17 m
↓
S 60.887700°
W 60.512695°		 ← 2 377.39 m →
5 655 728 m²		 S 60.887700°
W 60.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33197021484375 y=0.71453857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33197021484375 × 213)
    floor (0.33197021484375 × 8192)
    floor (2719.5)     		tx = 2719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71453857421875 × 213)
    floor (0.71453857421875 × 8192)
    floor (5853.5)     		ty = 5853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2719 / 5853 ti = "13/2719/5853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2719/5853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2719 ÷ 213
    2719 ÷ 8192     		x = 0.3319091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5853 ÷ 213
    5853 ÷ 8192     		y = 0.7144775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3319091796875 × 2 - 1) × π
    -0.336181640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.05614577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7144775390625 × 2 - 1) × π
    -0.428955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.34760212211902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05614577} λ = -1.05614577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34760212211902))-π/2
    2×atan(0.25986263302102)-π/2
    2×0.254239385291893-π/2
    0.508478770583787-1.57079632675     		φ = -1.06231756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05614577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.512695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06231756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.866313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2719 KachelY 5853 -1.05614577 -1.06231756 -60.512695 -60.866313
    Oben rechts KachelX + 1 2720 KachelY 5853 -1.05537878 -1.06231756 -60.468750 -60.866313
    Unten links KachelX 2719 KachelY + 1 5854 -1.05614577 -1.06269084 -60.512695 -60.887700
    Unten rechts KachelX + 1 2720 KachelY + 1 5854 -1.05537878 -1.06269084 -60.468750 -60.887700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06231756--1.06269084) × R
    0.000373279999999809 × 6371000     		dl = 2378.16687999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06231756--1.06269084) × R
    0.000373279999999809 × 6371000     		dr = 2378.16687999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05614577--1.05537878) × cos(-1.06231756) × R
    0.000766990000000023 × 0.486849034612676 × 6371000     		do = 2378.98454087789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05614577--1.05537878) × cos(-1.06269084) × R
    0.000766990000000023 × 0.486522945799752 × 6371000     		du = 2377.39111008159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06231756)-sin(-1.06269084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.486849034612676-0.486522945799752)×R²
    abs(-1.05537878--1.05614577)×0.000326088812923342×R²
    0.000766990000000023×0.000326088812923342×6371000²
    0.000766990000000023×0.000326088812923342×40589641000000     		ar = 5655727.58664706m²