Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27189 / 25011
↖ ↑ ↗
← S 68.346541°
E118.707275°		 ← 450.77 m → S 68.346541°
E118.718262°		 →
↑
450.75 m
↓
↑
450.75 m
↓
S 68.350595°
E118.707275°		 ← 450.69 m →
203 168 m²		 S 68.350595°
E118.718262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829757690429688 y=0.763290405273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829757690429688 × 215)
    floor (0.829757690429688 × 32768)
    floor (27189.5)     		tx = 27189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763290405273438 × 215)
    floor (0.763290405273438 × 32768)
    floor (25011.5)     		ty = 25011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27189 / 25011 ti = "15/27189/25011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27189/25011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27189 ÷ 215
    27189 ÷ 32768     		x = 0.829742431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25011 ÷ 215
    25011 ÷ 32768     		y = 0.763275146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.829742431640625 × 2 - 1) × π
    0.65948486328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07183280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763275146484375 × 2 - 1) × π
    -0.52655029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6542065320889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07183280} λ = 2.07183280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6542065320889))-π/2
    2×atan(0.191243741290597)-π/2
    2×0.188962078826294-π/2
    0.377924157652587-1.57079632675     		φ = -1.19287217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07183280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.707275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19287217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.346541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27189 KachelY 25011 2.07183280 -1.19287217 118.707275 -68.346541
    Oben rechts KachelX + 1 27190 KachelY 25011 2.07202455 -1.19287217 118.718262 -68.346541
    Unten links KachelX 27189 KachelY + 1 25012 2.07183280 -1.19294292 118.707275 -68.350595
    Unten rechts KachelX + 1 27190 KachelY + 1 25012 2.07202455 -1.19294292 118.718262 -68.350595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19287217--1.19294292) × R
    7.07499999998973e-05 × 6371000     		dl = 450.748249999346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19287217--1.19294292) × R
    7.07499999998973e-05 × 6371000     		dr = 450.748249999346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07183280-2.07202455) × cos(-1.19287217) × R
    0.000191749999999935 × 0.368991909452847 × 6371000     		do = 450.774999519891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07183280-2.07202455) × cos(-1.19294292) × R
    0.000191749999999935 × 0.368926151172458 × 6371000     		du = 450.694666623555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19287217)-sin(-1.19294292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368991909452847-0.368926151172458)×R²
    abs(2.07202455-2.07183280)×6.57582803888501e-05×R²
    0.000191749999999935×6.57582803888501e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.57582803888501e-05×40589641000000     		ar = 203167.937306241m²