Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27186 / 25072
↖ ↑ ↗
← S 68.592486°
E118.674316°		 ← 445.90 m → S 68.592486°
E118.685303°		 →
↑
445.84 m
↓
↑
445.84 m
↓
S 68.596496°
E118.674316°		 ← 445.82 m →
198 782 m²		 S 68.596496°
E118.685303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829666137695312 y=0.765151977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829666137695312 × 215)
    floor (0.829666137695312 × 32768)
    floor (27186.5)     		tx = 27186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765151977539062 × 215)
    floor (0.765151977539062 × 32768)
    floor (25072.5)     		ty = 25072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27186 / 25072 ti = "15/27186/25072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27186/25072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27186 ÷ 215
    27186 ÷ 32768     		x = 0.82965087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25072 ÷ 215
    25072 ÷ 32768     		y = 0.76513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82965087890625 × 2 - 1) × π
    0.6593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.07125756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76513671875 × 2 - 1) × π
    -0.5302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66590313559619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07125756} λ = 2.07125756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66590313559619))-π/2
    2×atan(0.189019870298119)-π/2
    2×0.186815796908552-π/2
    0.373631593817103-1.57079632675     		φ = -1.19716473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07125756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.674316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19716473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.592486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27186 KachelY 25072 2.07125756 -1.19716473 118.674316 -68.592486
    Oben rechts KachelX + 1 27187 KachelY 25072 2.07144931 -1.19716473 118.685303 -68.592486
    Unten links KachelX 27186 KachelY + 1 25073 2.07125756 -1.19723471 118.674316 -68.596496
    Unten rechts KachelX + 1 27187 KachelY + 1 25073 2.07144931 -1.19723471 118.685303 -68.596496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19716473--1.19723471) × R
    6.9980000000136e-05 × 6371000     		dl = 445.842580000867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19716473--1.19723471) × R
    6.9980000000136e-05 × 6371000     		dr = 445.842580000867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07125756-2.07144931) × cos(-1.19716473) × R
    0.000191750000000379 × 0.364998876943627 × 6371000     		do = 445.896954281136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07125756-2.07144931) × cos(-1.19723471) × R
    0.000191750000000379 × 0.364933724112969 × 6371000     		du = 445.817361025956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19716473)-sin(-1.19723471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364998876943627-0.364933724112969)×R²
    abs(2.07144931-2.07125756)×6.51528306581661e-05×R²
    0.000191750000000379×6.51528306581661e-05×6371000²
    0.000191750000000379×6.51528306581661e-05×40589641000000     		ar = 198782.105561051m²