Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27184 / 25074
↖ ↑ ↗
← S 68.600505°
E118.652344°		 ← 445.74 m → S 68.600505°
E118.663330°		 →
↑
445.72 m
↓
↑
445.72 m
↓
S 68.604513°
E118.652344°		 ← 445.66 m →
198 654 m²		 S 68.604513°
E118.663330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829605102539062 y=0.765213012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829605102539062 × 215)
    floor (0.829605102539062 × 32768)
    floor (27184.5)     		tx = 27184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765213012695312 × 215)
    floor (0.765213012695312 × 32768)
    floor (25074.5)     		ty = 25074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27184 / 25074 ti = "15/27184/25074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27184/25074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27184 ÷ 215
    27184 ÷ 32768     		x = 0.82958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25074 ÷ 215
    25074 ÷ 32768     		y = 0.76519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82958984375 × 2 - 1) × π
    0.6591796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07087406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76519775390625 × 2 - 1) × π
    -0.5303955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66628663079315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07087406} λ = 2.07087406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66628663079315))-π/2
    2×atan(0.188947395983393)-π/2
    2×0.186745821743817-π/2
    0.373491643487635-1.57079632675     		φ = -1.19730468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07087406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.652344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19730468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.600505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27184 KachelY 25074 2.07087406 -1.19730468 118.652344 -68.600505
    Oben rechts KachelX + 1 27185 KachelY 25074 2.07106581 -1.19730468 118.663330 -68.600505
    Unten links KachelX 27184 KachelY + 1 25075 2.07087406 -1.19737464 118.652344 -68.604513
    Unten rechts KachelX + 1 27185 KachelY + 1 25075 2.07106581 -1.19737464 118.663330 -68.604513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19730468--1.19737464) × R
    6.99600000000355e-05 × 6371000     		dl = 445.715160000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19730468--1.19737464) × R
    6.99600000000355e-05 × 6371000     		dr = 445.715160000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07087406-2.07106581) × cos(-1.19730468) × R
    0.000191749999999935 × 0.364868578805747 × 6371000     		do = 445.737776960668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07087406-2.07106581) × cos(-1.19737464) × R
    0.000191749999999935 × 0.364803441023048 × 6371000     		du = 445.658202088664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19730468)-sin(-1.19737464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364868578805747-0.364803441023048)×R²
    abs(2.07106581-2.07087406)×6.51377826996757e-05×R²
    0.000191749999999935×6.51377826996757e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.51377826996757e-05×40589641000000     		ar = 198654.350794071m²