Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27181 / 6534
↖ ↑ ↗
← N 80.755322°
W 30.690308°		 ← 98.13 m → N 80.755322°
W 30.684814°		 →
↑
98.18 m
↓
↑
98.18 m
↓
N 80.754439°
W 30.690308°		 ← 98.14 m →
9 635 m²		 N 80.754439°
W 30.684814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414756774902344 y=0.0997085571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414756774902344 × 216)
    floor (0.414756774902344 × 65536)
    floor (27181.5)     		tx = 27181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0997085571289062 × 216)
    floor (0.0997085571289062 × 65536)
    floor (6534.5)     		ty = 6534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27181 / 6534 ti = "16/27181/6534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27181/6534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27181 ÷ 216
    27181 ÷ 65536     		x = 0.414749145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6534 ÷ 216
    6534 ÷ 65536     		y = 0.099700927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414749145507812 × 2 - 1) × π
    -0.170501708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53564692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099700927734375 × 2 - 1) × π
    0.80059814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51515324926511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53564692} λ = -0.53564692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51515324926511))-π/2
    2×atan(12.3685040980439)-π/2
    2×1.49012128616124-π/2
    2.98024257232247-1.57079632675     		φ = 1.40944625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53564692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.690308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40944625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.755322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27181 KachelY 6534 -0.53564692 1.40944625 -30.690308 80.755322
    Oben rechts KachelX + 1 27182 KachelY 6534 -0.53555104 1.40944625 -30.684814 80.755322
    Unten links KachelX 27181 KachelY + 1 6535 -0.53564692 1.40943084 -30.690308 80.754439
    Unten rechts KachelX + 1 27182 KachelY + 1 6535 -0.53555104 1.40943084 -30.684814 80.754439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40944625-1.40943084) × R
    1.5410000000049e-05 × 6371000     		dl = 98.1771100003122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40944625-1.40943084) × R
    1.5410000000049e-05 × 6371000     		dr = 98.1771100003122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53564692--0.53555104) × cos(1.40944625) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.160650893660715 × 6371000     		do = 98.1338361560197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53564692--0.53555104) × cos(1.40943084) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.160666103485648 × 6371000     		du = 98.1431271000906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40944625)-sin(1.40943084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160650893660715-0.160666103485648)×R²
    abs(-0.53555104--0.53564692)×1.52098249331378e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.52098249331378e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.52098249331378e-05×40589641000000     		ar = 9634.9525061277m²