Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27180 / 6533
↖ ↑ ↗
← N 80.756204°
W 30.695801°		 ← 98.11 m → N 80.756204°
W 30.690308°		 →
↑
98.11 m
↓
↑
98.11 m
↓
N 80.755322°
W 30.695801°		 ← 98.12 m →
9 627 m²		 N 80.755322°
W 30.690308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414741516113281 y=0.0996932983398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414741516113281 × 216)
    floor (0.414741516113281 × 65536)
    floor (27180.5)     		tx = 27180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0996932983398438 × 216)
    floor (0.0996932983398438 × 65536)
    floor (6533.5)     		ty = 6533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27180 / 6533 ti = "16/27180/6533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27180/6533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27180 ÷ 216
    27180 ÷ 65536     		x = 0.41473388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6533 ÷ 216
    6533 ÷ 65536     		y = 0.0996856689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.1705322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53574279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0996856689453125 × 2 - 1) × π
    0.800628662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51524912306435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53574279} λ = -0.53574279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51524912306435))-π/2
    2×atan(12.3696899703688)-π/2
    2×1.49012898690285-π/2
    2.9802579738057-1.57079632675     		φ = 1.40946165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53574279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.695801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40946165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.756204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27180 KachelY 6533 -0.53574279 1.40946165 -30.695801 80.756204
    Oben rechts KachelX + 1 27181 KachelY 6533 -0.53564692 1.40946165 -30.690308 80.756204
    Unten links KachelX 27180 KachelY + 1 6534 -0.53574279 1.40944625 -30.695801 80.755322
    Unten rechts KachelX + 1 27181 KachelY + 1 6534 -0.53564692 1.40944625 -30.690308 80.755322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40946165-1.40944625) × R
    1.53999999998877e-05 × 6371000     		dl = 98.1133999992847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40946165-1.40944625) × R
    1.53999999998877e-05 × 6371000     		dr = 98.1133999992847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53574279--0.53564692) × cos(1.40946165) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16063569366777 × 6371000     		do = 98.1143171177384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53574279--0.53564692) × cos(1.40944625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160650893660715 × 6371000     		du = 98.1236010875331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40946165)-sin(1.40944625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16063569366777-0.160650893660715)×R²
    abs(-0.53564692--0.53574279)×1.51999929447477e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51999929447477e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51999929447477e-05×40589641000000     		ar = 9626.7846822088m²