Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27180 / 25066
↖ ↑ ↗
← S 68.568414°
E118.608398°		 ← 446.37 m → S 68.568414°
E118.619385°		 →
↑
446.35 m
↓
↑
446.35 m
↓
S 68.572428°
E118.608398°		 ← 446.30 m →
199 223 m²		 S 68.572428°
E118.619385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.829483032226562 y=0.764968872070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.829483032226562 × 215)
    floor (0.829483032226562 × 32768)
    floor (27180.5)     		tx = 27180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764968872070312 × 215)
    floor (0.764968872070312 × 32768)
    floor (25066.5)     		ty = 25066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27180 / 25066 ti = "15/27180/25066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27180/25066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27180 ÷ 215
    27180 ÷ 32768     		x = 0.8294677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25066 ÷ 215
    25066 ÷ 32768     		y = 0.76495361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8294677734375 × 2 - 1) × π
    0.658935546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.07010707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76495361328125 × 2 - 1) × π
    -0.5299072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66475265000531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07010707} λ = 2.07010707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66475265000531))-π/2
    2×atan(0.18923746007824)-π/2
    2×0.187025872362092-π/2
    0.374051744724185-1.57079632675     		φ = -1.19674458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07010707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.608398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19674458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.568414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27180 KachelY 25066 2.07010707 -1.19674458 118.608398 -68.568414
    Oben rechts KachelX + 1 27181 KachelY 25066 2.07029882 -1.19674458 118.619385 -68.568414
    Unten links KachelX 27180 KachelY + 1 25067 2.07010707 -1.19681464 118.608398 -68.572428
    Unten rechts KachelX + 1 27181 KachelY + 1 25067 2.07029882 -1.19681464 118.619385 -68.572428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19674458--1.19681464) × R
    7.00599999998719e-05 × 6371000     		dl = 446.352259999184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19674458--1.19681464) × R
    7.00599999998719e-05 × 6371000     		dr = 446.352259999184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07010707-2.07029882) × cos(-1.19674458) × R
    0.000191749999999935 × 0.365390007710217 × 6371000     		do = 446.374774976453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07010707-2.07029882) × cos(-1.19681464) × R
    0.000191749999999935 × 0.365324791145676 × 6371000     		du = 446.295103861459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19674458)-sin(-1.19681464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365390007710217-0.365324791145676)×R²
    abs(2.07029882-2.07010707)×6.52165645414482e-05×R²
    0.000191749999999935×6.52165645414482e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.52165645414482e-05×40589641000000     		ar = 199222.609008136m²