Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2718 / 5855
S 60.909073°
W 60.556640°
← 2 375.80 m → S 60.909073°
W 60.512695°

2 375.05 m

2 375.05 m
S 60.930432°
W 60.556640°
← 2 374.21 m →
5 640 738 m²
S 60.930432°
W 60.512695°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33184814453125 y=0.71478271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33184814453125 × 213)
    floor (0.33184814453125 × 8192)
    floor (2718.5)
    tx = 2718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71478271484375 × 213)
    floor (0.71478271484375 × 8192)
    floor (5855.5)
    ty = 5855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2718 / 5855 ti = "13/2718/5855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2718/5855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2718 ÷ 213
    2718 ÷ 8192
    x = 0.331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5855 ÷ 213
    5855 ÷ 8192
    y = 0.7147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.331787109375 × 2 - 1) × π
    -0.33642578125 × 3.1415926535
    Λ = -1.05691276
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.7147216796875 × 2 - 1) × π
    -0.429443359375 × 3.1415926535
    Φ = -1.34913610290686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05691276} λ = -1.05691276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.34913610290686))-π/2
    2×atan(0.259464314319212)-π/2
    2×0.253866226846564-π/2
    0.507732453693128-1.57079632675
    φ = -1.06306387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05691276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.556640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06306387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.909073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2718 KachelY 5855 -1.05691276 -1.06306387 -60.556640 -60.909073
    Oben rechts KachelX + 1 2719 KachelY 5855 -1.05614577 -1.06306387 -60.512695 -60.909073
    Unten links KachelX 2718 KachelY + 1 5856 -1.05691276 -1.06343666 -60.556640 -60.930432
    Unten rechts KachelX + 1 2719 KachelY + 1 5856 -1.05614577 -1.06343666 -60.512695 -60.930432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.06306387--1.06343666) × R
    0.000372790000000123 × 6371000
    dl = 2375.04509000078m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.06306387--1.06343666) × R
    0.000372790000000123 × 6371000
    dr = 2375.04509000078m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05691276--1.05614577) × cos(-1.06306387) × R
    0.000766989999999801 × 0.486197007658037 × 6371000
    do = 2375.79841553846m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05691276--1.05614577) × cos(-1.06343666) × R
    0.000766989999999801 × 0.485871211628651 × 6371000
    du = 2374.20641542696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.06306387)-sin(-1.06343666))×
    abs(λ12)×abs(0.486197007658037-0.485871211628651)×
    abs(-1.05614577--1.05691276)×0.000325796029385816×
    0.000766989999999801×0.000325796029385816×6371000²
    0.000766989999999801×0.000325796029385816×40589641000000
    ar = 5640737.89095744m²