Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27179 / 6536
↖ ↑ ↗
← N 80.753556°
W 30.701294°		 ← 98.14 m → N 80.753556°
W 30.695801°		 →
↑
98.18 m
↓
↑
98.18 m
↓
N 80.752673°
W 30.701294°		 ← 98.15 m →
9 636 m²		 N 80.752673°
W 30.695801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414726257324219 y=0.0997390747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414726257324219 × 216)
    floor (0.414726257324219 × 65536)
    floor (27179.5)     		tx = 27179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0997390747070312 × 216)
    floor (0.0997390747070312 × 65536)
    floor (6536.5)     		ty = 6536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27179 / 6536 ti = "16/27179/6536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27179/6536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27179 ÷ 216
    27179 ÷ 65536     		x = 0.414718627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6536 ÷ 216
    6536 ÷ 65536     		y = 0.0997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414718627929688 × 2 - 1) × π
    -0.170562744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53583866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0997314453125 × 2 - 1) × π
    0.800537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51496150166663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53583866} λ = -0.53583866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51496150166663))-π/2
    2×atan(12.366132694449)-π/2
    2×1.49010588249171-π/2
    2.98021176498342-1.57079632675     		φ = 1.40941544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53583866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.701294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40941544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.753556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27179 KachelY 6536 -0.53583866 1.40941544 -30.701294 80.753556
    Oben rechts KachelX + 1 27180 KachelY 6536 -0.53574279 1.40941544 -30.695801 80.753556
    Unten links KachelX 27179 KachelY + 1 6537 -0.53583866 1.40940003 -30.701294 80.752673
    Unten rechts KachelX + 1 27180 KachelY + 1 6537 -0.53574279 1.40940003 -30.695801 80.752673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40941544-1.40940003) × R
    1.5410000000049e-05 × 6371000     		dl = 98.1771100003122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40941544-1.40940003) × R
    1.5410000000049e-05 × 6371000     		dr = 98.1771100003122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53583866--0.53574279) × cos(1.40941544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160681303402365 × 6371000     		do = 98.1421749858216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53583866--0.53574279) × cos(1.40940003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160696513151013 × 6371000     		du = 98.1514649142806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40941544)-sin(1.40940003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160681303402365-0.160696513151013)×R²
    abs(-0.53574279--0.53583866)×1.52097486481317e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52097486481317e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52097486481317e-05×40589641000000     		ar = 9635.77113872216m²