Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27178 / 6538
↖ ↑ ↗
← N 80.751791°
W 30.706787°		 ← 98.17 m → N 80.751791°
W 30.701294°		 →
↑
98.18 m
↓
↑
98.18 m
↓
N 80.750908°
W 30.706787°		 ← 98.18 m →
9 639 m²		 N 80.750908°
W 30.701294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414710998535156 y=0.0997695922851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414710998535156 × 216)
    floor (0.414710998535156 × 65536)
    floor (27178.5)     		tx = 27178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0997695922851562 × 216)
    floor (0.0997695922851562 × 65536)
    floor (6538.5)     		ty = 6538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27178 / 6538 ti = "16/27178/6538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27178/6538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27178 ÷ 216
    27178 ÷ 65536     		x = 0.414703369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6538 ÷ 216
    6538 ÷ 65536     		y = 0.099761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414703369140625 × 2 - 1) × π
    -0.17059326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53593454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099761962890625 × 2 - 1) × π
    0.80047607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51476975406815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53593454} λ = -0.53593454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51476975406815))-π/2
    2×atan(12.3637617455215)-π/2
    2×1.49009047590667-π/2
    2.98018095181333-1.57079632675     		φ = 1.40938463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53593454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.706787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40938463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.751791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27178 KachelY 6538 -0.53593454 1.40938463 -30.706787 80.751791
    Oben rechts KachelX + 1 27179 KachelY 6538 -0.53583866 1.40938463 -30.701294 80.751791
    Unten links KachelX 27178 KachelY + 1 6539 -0.53593454 1.40936922 -30.706787 80.750908
    Unten rechts KachelX + 1 27179 KachelY + 1 6539 -0.53583866 1.40936922 -30.701294 80.750908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40938463-1.40936922) × R
    1.5409999999827e-05 × 6371000     		dl = 98.1771099988975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40938463-1.40936922) × R
    1.5409999999827e-05 × 6371000     		dr = 98.1771099988975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53593454--0.53583866) × cos(1.40938463) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160711712991487 × 6371000     		do = 98.1709877341205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53593454--0.53583866) × cos(1.40936922) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160726922663835 × 6371000     		du = 98.1802785849849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40938463)-sin(1.40936922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160711712991487-0.160726922663835)×R²
    abs(-0.53583866--0.53593454)×1.52096723484707e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.52096723484707e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.52096723484707e-05×40589641000000     		ar = 9638.5999362418m²