Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27176 / 6600
↖ ↑ ↗
← N 80.696895°
W 30.717774°		 ← 98.75 m → N 80.696895°
W 30.712280°		 →
↑
98.75 m
↓
↑
98.75 m
↓
N 80.696007°
W 30.717774°		 ← 98.76 m →
9 752 m²		 N 80.696007°
W 30.712280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414680480957031 y=0.100715637207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414680480957031 × 216)
    floor (0.414680480957031 × 65536)
    floor (27176.5)     		tx = 27176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100715637207031 × 216)
    floor (0.100715637207031 × 65536)
    floor (6600.5)     		ty = 6600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27176 / 6600 ti = "16/27176/6600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27176/6600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27176 ÷ 216
    27176 ÷ 65536     		x = 0.4146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6600 ÷ 216
    6600 ÷ 65536     		y = 0.1007080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4146728515625 × 2 - 1) × π
    -0.170654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53612629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1007080078125 × 2 - 1) × π
    0.798583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50882557851526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53612629} λ = -0.53612629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50882557851526))-π/2
    2×atan(12.2904873688428)-π/2
    2×1.48961142274063-π/2
    2.97922284548125-1.57079632675     		φ = 1.40842652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53612629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.717774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40842652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.696895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27176 KachelY 6600 -0.53612629 1.40842652 -30.717774 80.696895
    Oben rechts KachelX + 1 27177 KachelY 6600 -0.53603041 1.40842652 -30.712280 80.696895
    Unten links KachelX 27176 KachelY + 1 6601 -0.53612629 1.40841102 -30.717774 80.696007
    Unten rechts KachelX + 1 27177 KachelY + 1 6601 -0.53603041 1.40841102 -30.712280 80.696007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40842652-1.40841102) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dl = 98.7504999996567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40842652-1.40841102) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dr = 98.7504999996567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53612629--0.53603041) × cos(1.40842652) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.161657294984636 × 6371000     		do = 98.7485978942113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53612629--0.53603041) × cos(1.40841102) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.161672591093069 × 6371000     		du = 98.7579415446858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40842652)-sin(1.40841102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161657294984636-0.161672591093069)×R²
    abs(-0.53603041--0.53612629)×1.52961084328718e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.52961084328718e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.52961084328718e-05×40589641000000     		ar = 9751.93476182438m²