Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27171 / 6623
↖ ↑ ↗
← N 80.676449°
W 30.745239°		 ← 98.95 m → N 80.676449°
W 30.739746°		 →
↑
98.94 m
↓
↑
98.94 m
↓
N 80.675559°
W 30.745239°		 ← 98.96 m →
9 791 m²		 N 80.675559°
W 30.739746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414604187011719 y=0.101066589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414604187011719 × 216)
    floor (0.414604187011719 × 65536)
    floor (27171.5)     		tx = 27171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101066589355469 × 216)
    floor (0.101066589355469 × 65536)
    floor (6623.5)     		ty = 6623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27171 / 6623 ti = "16/27171/6623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27171/6623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27171 ÷ 216
    27171 ÷ 65536     		x = 0.414596557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6623 ÷ 216
    6623 ÷ 65536     		y = 0.101058959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414596557617188 × 2 - 1) × π
    -0.170806884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.53660565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101058959960938 × 2 - 1) × π
    0.797882080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50662048113274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53660565} λ = -0.53660565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50662048113274))-π/2
    2×atan(12.2634155063321)-π/2
    2×1.48943299363515-π/2
    2.9788659872703-1.57079632675     		φ = 1.40806966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53660565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.745239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40806966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.676449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27171 KachelY 6623 -0.53660565 1.40806966 -30.745239 80.676449
    Oben rechts KachelX + 1 27172 KachelY 6623 -0.53650978 1.40806966 -30.739746 80.676449
    Unten links KachelX 27171 KachelY + 1 6624 -0.53660565 1.40805413 -30.745239 80.675559
    Unten rechts KachelX + 1 27172 KachelY + 1 6624 -0.53650978 1.40805413 -30.739746 80.675559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40806966-1.40805413) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dl = 98.9416299999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40806966-1.40805413) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dr = 98.9416299999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53660565--0.53650978) × cos(1.40806966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162009450889225 × 6371000     		do = 98.9533912275523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53660565--0.53650978) × cos(1.40805413) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162024775706063 × 6371000     		du = 98.9627514382542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40806966)-sin(1.40805413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162009450889225-0.162024775706063)×R²
    abs(-0.53650978--0.53660565)×1.53248168376086e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.53248168376086e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.53248168376086e-05×40589641000000     		ar = 9791.07287933942m²