Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2717 / 5869
↖ ↑ ↗
← S 61.206798°
W 60.600586°		 ← 2 353.58 m → S 61.206798°
W 60.556640°		 →
↑
2 352.81 m
↓
↑
2 352.81 m
↓
S 61.227957°
W 60.600586°		 ← 2 352 m →
5 535 662 m²		 S 61.227957°
W 60.556640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33172607421875 y=0.71649169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33172607421875 × 213)
    floor (0.33172607421875 × 8192)
    floor (2717.5)     		tx = 2717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71649169921875 × 213)
    floor (0.71649169921875 × 8192)
    floor (5869.5)     		ty = 5869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2717 / 5869 ti = "13/2717/5869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2717/5869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2717 ÷ 213
    2717 ÷ 8192     		x = 0.3316650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5869 ÷ 213
    5869 ÷ 8192     		y = 0.7164306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3316650390625 × 2 - 1) × π
    -0.336669921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.05767975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7164306640625 × 2 - 1) × π
    -0.432861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.35987396842175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05767975} λ = -1.05767975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35987396842175))-π/2
    2×atan(0.25669312635483)-π/2
    2×0.251268088183249-π/2
    0.502536176366498-1.57079632675     		φ = -1.06826015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05767975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.600586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06826015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.206798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2717 KachelY 5869 -1.05767975 -1.06826015 -60.600586 -61.206798
    Oben rechts KachelX + 1 2718 KachelY 5869 -1.05691276 -1.06826015 -60.556640 -61.206798
    Unten links KachelX 2717 KachelY + 1 5870 -1.05767975 -1.06862945 -60.600586 -61.227957
    Unten rechts KachelX + 1 2718 KachelY + 1 5870 -1.05691276 -1.06862945 -60.556640 -61.227957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06826015--1.06862945) × R
    0.000369300000000017 × 6371000     		dl = 2352.81030000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06826015--1.06862945) × R
    0.000369300000000017 × 6371000     		dr = 2352.81030000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05767975--1.05691276) × cos(-1.06826015) × R
    0.000766990000000023 × 0.481649698869343 × 6371000     		do = 2353.57802165563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05767975--1.05691276) × cos(-1.06862945) × R
    0.000766990000000023 × 0.481326024868925 × 6371000     		du = 2351.99639082444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06826015)-sin(-1.06862945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481649698869343-0.481326024868925)×R²
    abs(-1.05691276--1.05767975)×0.000323674000418106×R²
    0.000766990000000023×0.000323674000418106×6371000²
    0.000766990000000023×0.000323674000418106×40589641000000     		ar = 5535662.03546346m²