Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2717 / 5859
↖ ↑ ↗
← S 60.994423°
W 60.600586°		 ← 2 369.43 m → S 60.994423°
W 60.556640°		 →
↑
2 368.61 m
↓
↑
2 368.61 m
↓
S 61.015725°
W 60.600586°		 ← 2 367.85 m →
5 610 386 m²		 S 61.015725°
W 60.556640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33172607421875 y=0.71527099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33172607421875 × 213)
    floor (0.33172607421875 × 8192)
    floor (2717.5)     		tx = 2717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71527099609375 × 213)
    floor (0.71527099609375 × 8192)
    floor (5859.5)     		ty = 5859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2717 / 5859 ti = "13/2717/5859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2717/5859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2717 ÷ 213
    2717 ÷ 8192     		x = 0.3316650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5859 ÷ 213
    5859 ÷ 8192     		y = 0.7152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3316650390625 × 2 - 1) × π
    -0.336669921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.05767975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7152099609375 × 2 - 1) × π
    -0.430419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.35220406448254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05767975} λ = -1.05767975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35220406448254))-π/2
    2×atan(0.258669507614254)-π/2
    2×0.253121409108282-π/2
    0.506242818216563-1.57079632675     		φ = -1.06455351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05767975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.600586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06455351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.994423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2717 KachelY 5859 -1.05767975 -1.06455351 -60.600586 -60.994423
    Oben rechts KachelX + 1 2718 KachelY 5859 -1.05691276 -1.06455351 -60.556640 -60.994423
    Unten links KachelX 2717 KachelY + 1 5860 -1.05767975 -1.06492529 -60.600586 -61.015725
    Unten rechts KachelX + 1 2718 KachelY + 1 5860 -1.05691276 -1.06492529 -60.556640 -61.015725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06455351--1.06492529) × R
    0.000371779999999822 × 6371000     		dl = 2368.61037999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06455351--1.06492529) × R
    0.000371779999999822 × 6371000     		dr = 2368.61037999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05767975--1.05691276) × cos(-1.06455351) × R
    0.000766990000000023 × 0.484894747936351 × 6371000     		do = 2369.43493214729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05767975--1.05691276) × cos(-1.06492529) × R
    0.000766990000000023 × 0.484569565863171 × 6371000     		du = 2367.84593212867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06455351)-sin(-1.06492529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.484894747936351-0.484569565863171)×R²
    abs(-1.05691276--1.05767975)×0.000325182073180053×R²
    0.000766990000000023×0.000325182073180053×6371000²
    0.000766990000000023×0.000325182073180053×40589641000000     		ar = 5610386.37866875m²