Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27167 / 43555
↖ ↑ ↗
← S 50.857976°
W 30.767212°		 ← 385.56 m → S 50.857976°
W 30.761719°		 →
↑
385.57 m
↓
↑
385.57 m
↓
S 50.861444°
W 30.767212°		 ← 385.53 m →
148 655 m²		 S 50.861444°
W 30.761719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414543151855469 y=0.664604187011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414543151855469 × 216)
    floor (0.414543151855469 × 65536)
    floor (27167.5)     		tx = 27167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664604187011719 × 216)
    floor (0.664604187011719 × 65536)
    floor (43555.5)     		ty = 43555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27167 / 43555 ti = "16/27167/43555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27167/43555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27167 ÷ 216
    27167 ÷ 65536     		x = 0.414535522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43555 ÷ 216
    43555 ÷ 65536     		y = 0.664596557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414535522460938 × 2 - 1) × π
    -0.170928955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53698915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664596557617188 × 2 - 1) × π
    -0.329193115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03419067240309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53698915} λ = -0.53698915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03419067240309))-π/2
    2×atan(0.355513991808197)-π/2
    2×0.341578591177131-π/2
    0.683157182354263-1.57079632675     		φ = -0.88763914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53698915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.767212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88763914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.857976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27167 KachelY 43555 -0.53698915 -0.88763914 -30.767212 -50.857976
    Oben rechts KachelX + 1 27168 KachelY 43555 -0.53689328 -0.88763914 -30.761719 -50.857976
    Unten links KachelX 27167 KachelY + 1 43556 -0.53698915 -0.88769966 -30.767212 -50.861444
    Unten rechts KachelX + 1 27168 KachelY + 1 43556 -0.53689328 -0.88769966 -30.761719 -50.861444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88763914--0.88769966) × R
    6.05200000000083e-05 × 6371000     		dl = 385.572920000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88763914--0.88769966) × R
    6.05200000000083e-05 × 6371000     		dr = 385.572920000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53698915--0.53689328) × cos(-0.88763914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.631244828411879 × 6371000     		do = 385.556621069716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53698915--0.53689328) × cos(-0.88769966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63119788893462 × 6371000     		du = 385.527951011076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88763914)-sin(-0.88769966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631244828411879-0.63119788893462)×R²
    abs(-0.53689328--0.53698915)×4.69394772595333e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69394772595333e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69394772595333e-05×40589641000000     		ar = 148654.665057505m²