Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27164 / 6620
↖ ↑ ↗
← N 80.679118°
W 30.783691°		 ← 98.93 m → N 80.679118°
W 30.778198°		 →
↑
98.94 m
↓
↑
98.94 m
↓
N 80.678228°
W 30.783691°		 ← 98.93 m →
9 788 m²		 N 80.678228°
W 30.778198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414497375488281 y=0.101020812988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414497375488281 × 216)
    floor (0.414497375488281 × 65536)
    floor (27164.5)     		tx = 27164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101020812988281 × 216)
    floor (0.101020812988281 × 65536)
    floor (6620.5)     		ty = 6620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27164 / 6620 ti = "16/27164/6620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27164/6620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27164 ÷ 216
    27164 ÷ 65536     		x = 0.41448974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6620 ÷ 216
    6620 ÷ 65536     		y = 0.10101318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.1710205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53727677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10101318359375 × 2 - 1) × π
    0.7979736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50690810253046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53727677} λ = -0.53727677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50690810253046))-π/2
    2×atan(12.2669432343416)-π/2
    2×1.4894562890214-π/2
    2.97891257804281-1.57079632675     		φ = 1.40811625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53727677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.783691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40811625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.679118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27164 KachelY 6620 -0.53727677 1.40811625 -30.783691 80.679118
    Oben rechts KachelX + 1 27165 KachelY 6620 -0.53718090 1.40811625 -30.778198 80.679118
    Unten links KachelX 27164 KachelY + 1 6621 -0.53727677 1.40810072 -30.783691 80.678228
    Unten rechts KachelX + 1 27165 KachelY + 1 6621 -0.53718090 1.40810072 -30.778198 80.678228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40811625-1.40810072) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dl = 98.9416299999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40811625-1.40810072) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dr = 98.9416299999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53727677--0.53718090) × cos(1.40811625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161963476204286 × 6371000     		do = 98.9253104522616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53727677--0.53718090) × cos(1.40810072) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161978801138333 × 6371000     		du = 98.9346707345537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40811625)-sin(1.40810072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161963476204286-0.161978801138333)×R²
    abs(-0.53718090--0.53727677)×1.5324934047295e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5324934047295e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5324934047295e-05×40589641000000     		ar = 9788.29452550001m²