Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27162 / 6361
↖ ↑ ↗
← N 80.906747°
W 30.794678°		 ← 96.54 m → N 80.906747°
W 30.789184°		 →
↑
96.52 m
↓
↑
96.52 m
↓
N 80.905879°
W 30.794678°		 ← 96.55 m →
9 319 m²		 N 80.905879°
W 30.789184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.414466857910156 y=0.0970687866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.414466857910156 × 216)
    floor (0.414466857910156 × 65536)
    floor (27162.5)     		tx = 27162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970687866210938 × 216)
    floor (0.0970687866210938 × 65536)
    floor (6361.5)     		ty = 6361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27162 / 6361 ti = "16/27162/6361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27162/6361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27162 ÷ 216
    27162 ÷ 65536     		x = 0.414459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6361 ÷ 216
    6361 ÷ 65536     		y = 0.0970611572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.414459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.17108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53746852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0970611572265625 × 2 - 1) × π
    0.805877685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53173941653365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53746852} λ = -0.53746852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53173941653365))-π/2
    2×atan(12.5753609145683)-π/2
    2×1.49144272992294-π/2
    2.98288545984587-1.57079632675     		φ = 1.41208913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53746852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.794678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41208913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.906747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27162 KachelY 6361 -0.53746852 1.41208913 -30.794678 80.906747
    Oben rechts KachelX + 1 27163 KachelY 6361 -0.53737264 1.41208913 -30.789184 80.906747
    Unten links KachelX 27162 KachelY + 1 6362 -0.53746852 1.41207398 -30.794678 80.905879
    Unten rechts KachelX + 1 27163 KachelY + 1 6362 -0.53737264 1.41207398 -30.789184 80.905879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41208913-1.41207398) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dl = 96.5206500004767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41208913-1.41207398) × R
    1.51500000000748e-05 × 6371000     		dr = 96.5206500004767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53746852--0.53737264) × cos(1.41208913) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.158041783236214 × 6371000     		do = 96.5400571917292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53746852--0.53737264) × cos(1.41207398) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.158056742819322 × 6371000     		du = 96.5491952752106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41208913)-sin(1.41207398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158041783236214-0.158056742819322)×R²
    abs(-0.53737264--0.53746852)×1.49595831074045e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.49595831074045e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.49595831074045e-05×40589641000000     		ar = 9318.55007807689m²