Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2716 / 5862
↖ ↑ ↗
← S 61.058286°
W 60.644531°		 ← 2 364.67 m → S 61.058286°
W 60.600586°		 →
↑
2 363.83 m
↓
↑
2 363.83 m
↓
S 61.079544°
W 60.644531°		 ← 2 363.08 m →
5 587 808 m²		 S 61.079544°
W 60.600586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33160400390625 y=0.71563720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33160400390625 × 213)
    floor (0.33160400390625 × 8192)
    floor (2716.5)     		tx = 2716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71563720703125 × 213)
    floor (0.71563720703125 × 8192)
    floor (5862.5)     		ty = 5862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2716 / 5862 ti = "13/2716/5862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2716/5862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2716 ÷ 213
    2716 ÷ 8192     		x = 0.33154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5862 ÷ 213
    5862 ÷ 8192     		y = 0.715576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33154296875 × 2 - 1) × π
    -0.3369140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.05844674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.715576171875 × 2 - 1) × π
    -0.43115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.35450503566431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05844674} λ = -1.05844674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35450503566431))-π/2
    2×atan(0.258075000765496)-π/2
    2×0.252564105739115-π/2
    0.50512821147823-1.57079632675     		φ = -1.06566812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05844674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06566812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.058286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2716 KachelY 5862 -1.05844674 -1.06566812 -60.644531 -61.058286
    Oben rechts KachelX + 1 2717 KachelY 5862 -1.05767975 -1.06566812 -60.600586 -61.058286
    Unten links KachelX 2716 KachelY + 1 5863 -1.05844674 -1.06603915 -60.644531 -61.079544
    Unten rechts KachelX + 1 2717 KachelY + 1 5863 -1.05767975 -1.06603915 -60.600586 -61.079544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06566812--1.06603915) × R
    0.000371029999999939 × 6371000     		dl = 2363.83212999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06566812--1.06603915) × R
    0.000371029999999939 × 6371000     		dr = 2363.83212999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05844674--1.05767975) × cos(-1.06566812) × R
    0.000766990000000023 × 0.483919639661827 × 6371000     		do = 2364.67007210681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05844674--1.05767975) × cos(-1.06603915) × R
    0.000766990000000023 × 0.483594913391748 × 6371000     		du = 2363.08329936698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06566812)-sin(-1.06603915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.483919639661827-0.483594913391748)×R²
    abs(-1.05767975--1.05844674)×0.000324726270078735×R²
    0.000766990000000023×0.000324726270078735×6371000²
    0.000766990000000023×0.000324726270078735×40589641000000     		ar = 5587807.72520441m²