Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2716 / 5860
↖ ↑ ↗
← S 61.015725°
W 60.644531°		 ← 2 367.85 m → S 61.015725°
W 60.600586°		 →
↑
2 367.08 m
↓
↑
2 367.08 m
↓
S 61.037012°
W 60.644531°		 ← 2 366.26 m →
5 603 004 m²		 S 61.037012°
W 60.600586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.33160400390625 y=0.71539306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.33160400390625 × 213)
    floor (0.33160400390625 × 8192)
    floor (2716.5)     		tx = 2716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71539306640625 × 213)
    floor (0.71539306640625 × 8192)
    floor (5860.5)     		ty = 5860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2716 / 5860 ti = "13/2716/5860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2716/5860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2716 ÷ 213
    2716 ÷ 8192     		x = 0.33154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5860 ÷ 213
    5860 ÷ 8192     		y = 0.71533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33154296875 × 2 - 1) × π
    -0.3369140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.05844674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71533203125 × 2 - 1) × π
    -0.4306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.35297105487646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05844674} λ = -1.05844674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35297105487646))-π/2
    2×atan(0.258471186651573)-π/2
    2×0.252935516659473-π/2
    0.505871033318947-1.57079632675     		φ = -1.06492529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05844674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06492529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.015725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2716 KachelY 5860 -1.05844674 -1.06492529 -60.644531 -61.015725
    Oben rechts KachelX + 1 2717 KachelY 5860 -1.05767975 -1.06492529 -60.600586 -61.015725
    Unten links KachelX 2716 KachelY + 1 5861 -1.05844674 -1.06529683 -60.644531 -61.037012
    Unten rechts KachelX + 1 2717 KachelY + 1 5861 -1.05767975 -1.06529683 -60.600586 -61.037012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06492529--1.06529683) × R
    0.00037154000000017 × 6371000     		dl = 2367.08134000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06492529--1.06529683) × R
    0.00037154000000017 × 6371000     		dr = 2367.08134000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05844674--1.05767975) × cos(-1.06492529) × R
    0.000766990000000023 × 0.484569565863171 × 6371000     		do = 2367.84593212867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05844674--1.05767975) × cos(-1.06529683) × R
    0.000766990000000023 × 0.484244526796471 × 6371000     		du = 2366.25763091025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06492529)-sin(-1.06529683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.484569565863171-0.484244526796471)×R²
    abs(-1.05767975--1.05844674)×0.000325039066700394×R²
    0.000766990000000023×0.000325039066700394×6371000²
    0.000766990000000023×0.000325039066700394×40589641000000     		ar = 5603004.16730553m²